江南大学 2024年高等代数第10题

由于A是n阶半正定实对称矩阵，且$n-1 \leq R(A) \leq n$，故A可逆（秩为n）或秩为n-1。分两种情况讨论。

存在可逆矩阵P使得$P^TAP=I_n$。令$B_1=P^TBP$，则$B_1$仍为半正定实对称矩阵。存在正交矩阵Q使得$Q^TB_1Q=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中$\lambda_i\geq0$。取$C=PQ$，则C可逆，且$C^TAC=I_n$，$C^TBC=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$均为对角矩阵。

存在正交矩阵U使得$U^TAU=\begin{pmatrix} \Lambda & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1})$，$\lambda_i>0$。令$U=(U_1,u_n)$，则$Au_n=0$。考虑$u_n^TBu_n$的符号。

令$P=\begin{pmatrix} \Lambda^{-1/2} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U^T$，则$P^TAP=\begin{pmatrix} I_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。记$B_1=P^TBP=\begin{pmatrix} B_{11} & b \\ b^T & \beta \end{pmatrix}$，其中$\beta=u_n^TBu_n>0$。对B_1作合同变换：令$R=\begin{pmatrix} I_{n-1} & -\beta^{-1}b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则$R^TB_1R=\begin{pmatrix} B_{11}-\beta^{-1}bb^T & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$。记$B_{11}'=B_{11}-\beta^{-1}bb^T$，则$B_{11}'$半正定。存在正交矩阵Q使得$Q^TB_{11}'Q=\operatorname{diag}(\mu_1,\dots,\mu_{n-1})$，$\mu_i\geq0$。令$S=\begin{pmatrix} Q & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}R$，则$C=PS$满足要求。

由于B半正定，$u_n^TBu_n=0$蕴含$Bu_n=0$，故u_n也是B的零特征值对应的特征向量。令$P=\begin{pmatrix} \Lambda^{-1/2} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}U^T$，则$P^TAP=\begin{pmatrix} I_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，且$B_1=P^TBP=\begin{pmatrix} B_{11} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中$B_{11}$半正定。存在正交矩阵Q使得$Q^TB_{11}Q=\operatorname{diag}(\mu_1,\dots,\mu_{n-1})$，$\mu_i\geq0$。令$S=\begin{pmatrix} Q & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则$C=PS$满足要求。

综合所有情况，总存在实可逆矩阵C使得$C^TAC$和$C^TBC$同时为对角矩阵。