江南大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5、设 $A$ 为2026阶非零实方阵，$\displaystyle A_{i j}$ 为 $A$ 的元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，$\displaystyle A_{i j}=a_{i j}$ 对所有的 $\displaystyle 1 \leq i, j \leq 2026$ 都成立，求 $A$ 的秩和行列式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解条件并转化为伴随矩阵关系
由条件 $A_{ij} = a_{ij}$ 对所有 $i,j$ 成立，即 $A$ 的每个元素等于其代数余子式。因此 $A$ 的伴随矩阵 $A^* = (A_{ji})^T = (a_{ji})^T = A^T$。
公式：$A^* = A^T$
提示：注意伴随矩阵的定义是代数余子式的转置，不要混淆下标。
步骤 2/6
目标：利用方阵与其伴随矩阵的关系
对于任意方阵，有 $AA^* = A^*A = \det(A) I$。代入 $A^* = A^T$ 得 $AA^T = A^T A = \det(A) I$。
公式：$AA^* = \det(A)I$
提示：此公式对任意方阵成立，注意伴随矩阵的位置。
步骤 3/6
目标：设行列式并取行列式得到方程
设 $\det(A) = d$，则 $AA^T = dI$。取行列式得 $\det(AA^T) = \det(dI) = d^{2026}$。又 $\det(AA^T) = \det(A)\det(A^T) = d^2$，所以 $d^2 = d^{2026}$，即 $d^2(1 - d^{2024}) = 0$。
公式：$\det(AA^T) = \det(A)\det(A^T) = d^2$
提示：注意行列式乘法性质，以及 $\det(dI)=d^n$，其中 $n=2026$。
步骤 4/6
目标：解方程得到行列式的可能值
由 $d^2(1 - d^{2024}) = 0$ 得 $d=0$ 或 $d^{2024}=1$。由于 $A$ 是实矩阵，$d$ 为实数，所以 $d=1$ 或 $d=-1$ 或 $d=0$。
公式：$d^{2024}=1$ 在实数域下解为 $d=\pm 1$
提示：注意 $2024$ 是偶数，所以 $d$ 可取 $-1$。
步骤 5/6
目标：排除 $d=0$ 的情况
若 $d=0$，则 $AA^T = 0$。设 $A$ 的行向量为 $\alpha_1,\dots,\alpha_{2026}$，则 $AA^T$ 的第 $i$ 行第 $i$ 列元素为 $\|\alpha_i\|^2 = 0$，故每个行向量为零向量，从而 $A=0$，与 $A$ 非零矛盾。所以 $d \neq 0$。
公式：$(AA^T)_{ii} = \|\alpha_i\|^2$
提示：注意 $AA^T$ 的对角线元素是行向量的模长平方，非负且为零当且仅当行向量为零。
步骤 6/6
目标：确定行列式和秩
因此 $d = \pm 1$。此时 $AA^T = I$，即 $A$ 是正交矩阵。正交矩阵的秩为满秩，即 $\operatorname{rank}(A) = 2026$。
公式：$AA^T = I$ 意味着 $A$ 可逆且 $A^{-1}=A^T$
提示：正交矩阵的行列式为 $\pm 1$，且必为满秩。
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