江南大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6、设 $A$ 为数域 $k$ 中的矩阵，其中以 $A$ 为根的多项式，次数最小，首项系数为 1的多项式为最小多项式，设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{n}$ 为 $k$ 中的矩阵，它们的最小多项式两两
互素，有 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x)$ 为多项式，证明：存在一个多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使
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f\left(A_{i}\right)=f_{i}\left(A_{i}\right), \quad i=1, \ldots, n .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件与目标
设 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 为数域 $k$ 上的矩阵，它们的最小多项式 $m_1(x), m_2(x), \ldots, m_n(x)$ 两两互素。给定多项式 $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)$，需要证明存在多项式 $f(x)$ 使得 $f(A_i) = f_i(A_i)$ 对所有 $i=1,\ldots,n$ 成立。
提示：注意最小多项式是首一多项式，且两两互素是构造的关键。
步骤 2/7
目标：构造乘积多项式
令 $m(x) = m_1(x) m_2(x) \cdots m_n(x)$。由于 $m_i(x)$ 两两互素，$m_i(x)$ 与 $m(x)/m_i(x)$ 互素。
公式：$m(x) = \prod_{i=1}^n m_i(x)$
提示：互素性保证后续存在多项式 $u_i, v_i$ 满足贝祖等式。
步骤 3/7
目标：应用贝祖引理
对每个 $i$，存在多项式 $u_i(x), v_i(x)$ 使得
\[ u_i(x) m_i(x) + v_i(x) \frac{m(x)}{m_i(x)} = 1. \]
这是因为 $m_i(x)$ 与 $m(x)/m_i(x)$ 互素。
公式：$u_i(x) m_i(x) + v_i(x) \frac{m(x)}{m_i(x)} = 1$
提示：贝祖引理要求多项式互素，这里满足条件。
步骤 4/7
目标：构造正交幂等多项式
定义 $e_i(x) = v_i(x) \frac{m(x)}{m_i(x)}$。则 $e_i(x) \equiv 1 \pmod{m_i(x)}$，且对 $j \neq i$，$e_i(x) \equiv 0 \pmod{m_j(x)}$。这是因为 $e_i(x) = 1 - u_i(x) m_i(x)$，所以模 $m_i(x)$ 余1；而 $e_i(x)$ 含有因子 $m_j(x)$（$j \neq i$），故模 $m_j(x)$ 余0。
公式：$e_i(x) = v_i(x) \frac{m(x)}{m_i(x)}$
提示：注意 $e_i(x)$ 的构造利用了贝祖等式，且 $e_i(x)$ 是多项式。
步骤 5/7
目标：构造目标多项式
令 $f(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i(x)$。则对每个 $i$，有
\[ f(x) \equiv f_i(x) \pmod{m_i(x)} \]
因为 $e_i(x) \equiv 1 \pmod{m_i(x)}$ 且 $e_j(x) \equiv 0 \pmod{m_i(x)}$ 对 $j \neq i$。
公式：$f(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i(x)$
提示：这是中国剩余定理在多项式环中的应用。
步骤 6/7
目标：代入矩阵并利用最小多项式性质
由于 $m_i(A_i) = 0$（最小多项式定义），且 $f(x) \equiv f_i(x) \pmod{m_i(x)}$，存在多项式 $q_i(x)$ 使得 $f(x) - f_i(x) = q_i(x) m_i(x)$。代入 $x = A_i$ 得 $f(A_i) - f_i(A_i) = q_i(A_i) m_i(A_i) = 0$，即 $f(A_i) = f_i(A_i)$。
公式：$f(A_i) = f_i(A_i)$
提示：注意 $m_i(A_i)=0$ 是关键，且多项式相等在矩阵代入时成立。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，存在多项式 $f(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i(x)$ 满足 $f(A_i) = f_i(A_i)$ 对所有 $i=1,\ldots,n$ 成立。
提示：构造的 $f(x)$ 不唯一，但存在性得证。
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