江南大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7、设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & \beta \\ \beta^{\top} & \alpha\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \beta$ 为 $\displaystyle n-1$ 阶列向量．
（1）证明：$\displaystyle \alpha-\beta^{\top} A_{1} \beta>0$ ．
（2）若 $A$ 的非对角线元素都不大于零，即 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ ，当 $\displaystyle i \neq j$ 时，$\displaystyle a_{i j} \leq 0$ ，证明： $\displaystyle A^{-1}$ 的元素都非负．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正定性构造特殊向量
由于 $A$ 正定，对任意非零向量 $x$ 有 $x^\top A x > 0$。取 $x = \begin{pmatrix} -A_1^{-1} \beta \\ 1 \end{pmatrix}$，则 $x^\top A x = \alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta > 0$。
公式：$x^\top A x = \alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta$
提示：注意 $A_1$ 正定保证 $A_1^{-1}$ 存在，且 $x$ 非零。
步骤 2/5
目标：证明Schur补为正
由 $A$ 正定，其顺序主子式 $A_1$ 正定，且 $A$ 的Schur补 $S = \alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta$ 为正。
公式：$S = \alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta > 0$
提示：Schur补的正定性是正定矩阵的充要条件。
步骤 3/5
目标：识别矩阵类型为M矩阵
由条件，$A$ 的非对角线元素 $a_{ij} \leq 0$（$i \neq j$），故 $A$ 是Z矩阵。又 $A$ 正定，特征值全为正，因此 $A$ 是非奇异M矩阵。
提示：M矩阵的定义：Z矩阵且特征值实部为正。
步骤 4/5
目标：利用M矩阵性质得逆矩阵非负
对于非奇异M矩阵，其逆矩阵的元素非负。因此 $A^{-1} \geq 0$（元素wise）。
提示：M矩阵的逆非负是经典结论。
步骤 5/5
目标：分块矩阵求逆验证
计算 $A^{-1}$ 的分块形式：
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} + \frac{A_1^{-1} \beta \beta^\top A_1^{-1}}{\alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta} & -\frac{A_1^{-1} \beta}{\alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta} \\ -\frac{\beta^\top A_1^{-1}}{\alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta} & \frac{1}{\alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta} \end{pmatrix}.$$
由于 $A_1$ 是M矩阵，$A_1^{-1} \geq 0$；$\beta \leq 0$（非对角元非正），故 $-A_1^{-1} \beta \geq 0$；分母 $\alpha - \beta^\top A_1^{-1} \beta > 0$。因此所有子块非负，$A^{-1}$ 元素非负。
公式：$A^{-1}$ 的分块公式
提示：注意 $\beta$ 的符号：非对角线元素非正，故 $\beta$ 的分量 $\leq 0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。