江南大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8、设数域 $\displaystyle K, M=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义在 $K$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma: \sigma(x)=M X-X M$ ，
$$
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0, x_{i} \in K, i=1,2,3,4\right\} .
$$
是数域 $k$ 的子空间．
（1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间．
（2）$\displaystyle \sigma \mid W$ 是线性变换在 $W$ 的上的限制．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确子空间W的定义
子空间 $W$ 定义为所有满足 $x_2 + x_3 = 0$ 的 $2\times 2$ 矩阵构成的集合，即 $W = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} \in K^{2\times 2} \mid x_2 + x_3 = 0 \right\}$。
公式：$x_2 + x_3 = 0$
提示：注意 $W$ 是 $K^{2\times 2}$ 的子空间，需要验证对加法和数乘封闭，但题目已说明，直接使用定义即可。
步骤 2/7
目标：写出线性变换σ的表达式
线性变换 $\sigma: K^{2\times 2} \to K^{2\times 2}$ 定义为 $\sigma(X) = MX - XM$，其中 $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(X) = MX - XM$
提示：注意矩阵乘法顺序，$MX$ 和 $XM$ 不同。
步骤 3/7
目标：计算σ(X)的表达式
设 $X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}$，计算 $MX = \begin{pmatrix} x_1+x_3 & x_2+x_4 \\ x_1+x_3 & x_2+x_4 \end{pmatrix}$，$XM = \begin{pmatrix} x_1+x_2 & x_1+x_2 \\ x_3+x_4 & x_3+x_4 \end{pmatrix}$，相减得 $\sigma(X) = \begin{pmatrix} x_3-x_2 & x_4-x_1 \\ x_1-x_4 & x_2-x_3 \end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(X) = \begin{pmatrix} x_3-x_2 & x_4-x_1 \\ x_1-x_4 & x_2-x_3 \end{pmatrix}$
提示：计算时注意矩阵乘法的正确性，避免符号错误。
步骤 4/7
目标：利用W的条件简化σ(X)
由 $X \in W$ 得 $x_2 + x_3 = 0$，即 $x_3 = -x_2$。代入 $\sigma(X)$ 得 $\sigma(X) = \begin{pmatrix} -x_2 - x_2 & x_4 - x_1 \\ x_1 - x_4 & x_2 - (-x_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x_2 & x_4 - x_1 \\ x_1 - x_4 & 2x_2 \end{pmatrix}$。
公式：$\sigma(X) = \begin{pmatrix} -2x_2 & x_4 - x_1 \\ x_1 - x_4 & 2x_2 \end{pmatrix}$
提示：代入时注意 $x_3 = -x_2$，不要遗漏负号。
步骤 5/7
目标：验证σ(X)属于W
检查 $\sigma(X)$ 的 $(1,2)$ 元和 $(2,1)$ 元：$(1,2)$ 元为 $x_4 - x_1$，$(2,1)$ 元为 $x_1 - x_4$，两者之和为 $(x_4 - x_1) + (x_1 - x_4) = 0$，即满足 $W$ 的条件 $x_2 + x_3 = 0$（这里 $x_2$ 对应 $(1,2)$ 元，$x_3$ 对应 $(2,1)$ 元）。因此 $\sigma(X) \in W$。
公式：$(x_4 - x_1) + (x_1 - x_4) = 0$
提示：注意 $W$ 的条件是 $(1,2)$ 元与 $(2,1)$ 元之和为零，这里恰好满足。
步骤 6/7
目标：结论：W是σ的不变子空间
对任意 $X \in W$，有 $\sigma(X) \in W$，所以 $\sigma(W) \subseteq W$，即 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。
提示：不变子空间的定义：对任意 $X \in W$，$\sigma(X) \in W$。
步骤 7/7
目标：证明σ|_W是W上的线性变换
由(1)知 $\sigma(W) \subseteq W$，所以 $\sigma$ 在 $W$ 上的限制 $\sigma|_W: W \to W$ 是良定义的。由于 $\sigma$ 是 $K^{2\times 2}$ 上的线性变换，其限制在子空间 $W$ 上仍保持线性性，即对任意 $X,Y \in W$ 和 $k \in K$，有 $\sigma|_W(X+Y) = \sigma(X+Y) = \sigma(X)+\sigma(Y) = \sigma|_W(X)+\sigma|_W(Y)$，$\sigma|_W(kX) = \sigma(kX) = k\sigma(X) = k\sigma|_W(X)$。因此 $\sigma|_W$ 是 $W$ 上的线性变换。
提示：限制映射的线性性继承自原线性变换，只需验证定义域和值域正确。
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