江南大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9、设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，与 $\displaystyle I_{n}+J(0, n)$ 相似，$\displaystyle I_{n}$ 为单位 $n$ 矩阵，$\displaystyle J(0, n)$ 为对角线元素为 0 的 Jordan 阵，即
$$
J(0, n)=\left(\begin{array}{llll}
0 & & & \\
1 & 0 & & \\
& 1 & & 0 \\
& & 1 & 0
\end{array}\right) .
$$
证明：存在复问量 $\displaystyle \alpha \in C^{n}$ ，使 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \ldots, A^{n-1} \alpha$ 线性无关．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解相似条件
由题设，$A$ 与 $I_n + J(0,n)$ 相似，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P(I_n + J(0,n))P^{-1}$。令 $B = I_n + J(0,n)$，则 $B$ 是 $n$ 阶 Jordan 块，其形式为 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：A = P(I_n + J(0,n))P^{-1}
提示：注意 $J(0,n)$ 是下三角 Jordan 块，对角线为0，次对角线为1。
步骤 2/6
目标：构造向量 $e_1$
考虑标准基向量 $e_1 = (1,0,\ldots,0)^T \in \mathbb{C}^n$。
提示：选择 $e_1$ 是因为它是循环向量。
步骤 3/6
目标：计算 $B^k e_1$
计算 $B e_1 = (1,1,0,\ldots,0)^T$，$B^2 e_1 = (1,2,1,0,\ldots,0)^T$，一般地，$B^k e_1$ 的第 $i$ 个分量为 $\binom{k}{i-1}$（当 $i \leq k+1$ 时），否则为0。特别地，$B^{n-1} e_1 = (1, \binom{n-1}{1}, \ldots, \binom{n-1}{n-1})^T$。
公式：B^k e_1 = (\binom{k}{0}, \binom{k}{1}, \ldots, \binom{k}{k}, 0, \ldots, 0)^T
提示：注意组合数定义：$\binom{k}{j}=0$ 当 $j>k$。
步骤 4/6
目标：证明 $\{B^k e_1\}_{k=0}^{n-1}$ 线性无关
将向量 $e_1, B e_1, \ldots, B^{n-1} e_1$ 作为列向量构成矩阵 $M$，则 $M$ 是上三角矩阵，且对角线元素均为1（因为 $B^k e_1$ 的第 $k+1$ 个分量为 $\binom{k}{k}=1$）。因此 $\det(M)=1 \neq 0$，故这些向量线性无关。
公式：M = [e_1, B e_1, \ldots, B^{n-1} e_1] 是上三角且对角元为1
提示：上三角矩阵的行列式等于对角元乘积，这里为1。
步骤 5/6
目标：定义 $\alpha$ 并利用相似性
令 $\alpha = P e_1$，则 $A^k \alpha = P B^k P^{-1} P e_1 = P B^k e_1$ 对 $k=0,1,\ldots,n-1$ 成立。
公式：A^k \alpha = P B^k e_1
提示：注意 $P^{-1}P = I$。
步骤 6/6
目标：证明 $\{A^k \alpha\}$ 线性无关
由于 $P$ 可逆，向量组 $\{P B^k e_1\}_{k=0}^{n-1}$ 线性无关当且仅当 $\{B^k e_1\}_{k=0}^{n-1}$ 线性无关。而后者已证线性无关，故 $\alpha, A\alpha, \ldots, A^{n-1}\alpha$ 线性无关。
公式：可逆矩阵保持线性无关性
提示：线性无关性在可逆线性变换下保持不变。
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