河南大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+6 x^{2}+3 p x+8$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $p$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解重根条件
多项式 $f(x)$ 有重根的充要条件是 $f(x)$ 与它的导数 $f'(x)$ 有公因式（次数≥1）。因此，我们需要计算 $f'(x)$ 并求其与 $f(x)$ 的最大公因式。
提示：注意：重根包括二重根、三重根等，条件为 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式。
步骤 2/6
目标：求导数
对 $f(x)=x^3+6x^2+3px+8$ 求导，得 $f'(x)=3x^2+12x+3p$。
公式：$f'(x)=3x^2+12x+3p$
提示：求导时注意系数：$x^3$ 导数为 $3x^2$，$6x^2$ 导数为 $12x$，$3px$ 导数为 $3p$，常数导数为0。
步骤 3/6
目标：用辗转相除法求最大公因式（第一步）
用 $f(x)$ 除以 $f'(x)$。首先，$f(x)$ 除以 $f'(x)$ 的商为 $\frac{1}{3}x$，因为 $\frac{1}{3}x \cdot f'(x) = x^3+4x^2+px$。相减得余式：$f(x) - (x^3+4x^2+px) = 2x^2 + (2p)x + 8$。因此，$f(x) = \frac{1}{3}x f'(x) + 2(x^2+px+4)$。
公式：$f(x) = \frac{1}{3}x f'(x) + 2(x^2+px+4)$
提示：注意余式的系数：$6x^2-4x^2=2x^2$，$3px-px=2px$，常数8。提取公因子2得 $2(x^2+px+4)$。
步骤 4/6
目标：用辗转相除法求最大公因式（第二步）
用 $f'(x)$ 除以 $x^2+px+4$（忽略常数因子2）。计算：$f'(x) = 3x^2+12x+3p$，除以 $x^2+px+4$ 的商为3，余式为 $(12-3p)x + (3p-12) = (12-3p)(x-1)$。因此，$f'(x) = 3(x^2+px+4) + (12-3p)(x-1)$。
公式：$f'(x) = 3(x^2+px+4) + (12-3p)(x-1)$
提示：注意：$3(x^2+px+4)=3x^2+3px+12$，相减得 $(12-3p)x + (3p-12)$，提取公因子 $(12-3p)$ 得 $(12-3p)(x-1)$。
步骤 5/6
目标：讨论公因式存在的条件
由辗转相除法，$f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式当且仅当 $x^2+px+4$ 与 $(12-3p)(x-1)$ 有公因式，或者 $x^2+px+4$ 本身是 $f(x)$ 的重因式。分两种情况讨论：
情况1：$12-3p=0$，即 $p=4$。此时 $f'(x)=3(x^2+4x+4)=3(x+2)^2$，且 $f(x)=x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3$，有三重根 $x=-2$。
情况2：$12-3p \neq 0$，则公因式只能是 $x-1$ 整除 $x^2+px+4$，即 $1^2+p\cdot1+4=0$，解得 $p=-5$。此时 $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$，且 $f(1)=0$，$f'(1)=0$，所以 $x=1$ 是重根。
提示：注意：当 $12-3p=0$ 时，余式为0，说明 $x^2+px+4$ 是 $f'(x)$ 的因式，从而 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式。当 $12-3p \neq 0$ 时，公因式必须同时整除 $x^2+px+4$ 和 $(x-1)$，因此 $x-1$ 必须是 $x^2+px+4$ 的因式。
步骤 6/6
目标：总结答案
综上所述，$p$ 的值为 $4$ 或 $-5$。
提示：检查：$p=4$ 时，$f(x)=(x+2)^3$；$p=-5$ 时，$f(x)=x^3+6x^2-15x+8$，有重根 $x=1$。
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