河南大学 2026年高等代数第2题

观察行列式，它是 $(n-1)\times(n-1)$ 的，行从 $2$ 到 $n$，列从指数 $n$ 到 $2$。第一行元素为 $2^n-2, 2^{n-1}-2, \dots, 2^2-2$，类似地，第 $i$ 行（对应底数 $i+1$）为 $(i+1)^n-(i+1), (i+1)^{n-1}-(i+1), \dots, (i+1)^2-(i+1)$。

利用行列式的线性性质，将每一列拆分为两项：$a_{ij} = (i+1)^{n+1-j} - (i+1)$，其中 $j=1,\dots,n-1$ 对应指数 $n, n-1, \dots, 2$。于是行列式可写为两个行列式的差： $$D_n = \begin{vmatrix} 2^n & 2^{n-1} & \cdots & 2^2 \\ 3^n & 3^{n-1} & \cdots & 3^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n^n & n^{n-1} & \cdots & n^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 3 & 3 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \cdots & n \end{vmatrix}.$$

第二个行列式的每一行元素都相同，因此各行成比例，行列式为 $0$。所以 $$D_n = \begin{vmatrix} 2^n & 2^{n-1} & \cdots & 2^2 \\ 3^n & 3^{n-1} & \cdots & 3^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n^n & n^{n-1} & \cdots & n^2 \end{vmatrix}.$$

从第 $i$ 行（对应底数 $i+1$）提出因子 $(i+1)^2$，因为该行元素为 $(i+1)^n, (i+1)^{n-1}, \dots, (i+1)^2$，提出 $(i+1)^2$ 后，该行变为 $(i+1)^{n-2}, (i+1)^{n-3}, \dots, 1$。于是 $$D_n = \left(\prod_{i=2}^n i^2\right) \begin{vmatrix} 2^{n-2} & 2^{n-3} & \cdots & 1 \\ 3^{n-2} & 3^{n-3} & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n^{n-2} & n^{n-3} & \cdots & 1 \end{vmatrix}.$$

将得到的行列式转置，得到 $$\begin{vmatrix} 2^{n-2} & 3^{n-2} & \cdots & n^{n-2} \\ 2^{n-3} & 3^{n-3} & \cdots & n^{n-3} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{vmatrix}.$$ 这是一个以 $2,3,\dots,n$ 为节点的范德蒙行列式，阶数为 $n-1$。