湖南大学 2026年高等代数第10题
📝 题目
10．$A$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上可相似对角化，$\displaystyle \varphi(X)=A X A$ 为 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上线性变换。证明：$\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上存在一组基使其表示阵为对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用A可对角化进行相似变换
由于$A$在$\mathbb{C}$上可相似对角化，存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。定义线性变换$\psi: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$为$\psi(X) = P^{-1} \varphi(PXP^{-1}) P$。计算得$\psi(X) = P^{-1} A P X P^{-1} A P = \Lambda X \Lambda$。因此$\varphi$与$\psi$相似，只需证明$\psi$可对角化。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$
提示：注意$\varphi$的定义是$\varphi(X)=AXA$，进行相似变换时需正确代入。
步骤 2/4
目标：选取标准基并计算$\psi$作用
取$M_n(\mathbb{C})$的标准基$E_{ij}$（第$i$行第$j$列为1，其余为0），则$\psi(E_{ij}) = \Lambda E_{ij} \Lambda$。由于$\Lambda$是对角矩阵，左乘$\Lambda$相当于将$E_{ij}$的第$i$行乘以$\lambda_i$，右乘$\Lambda$相当于将第$j$列乘以$\lambda_j$，因此$\psi(E_{ij}) = \lambda_i \lambda_j E_{ij}$。
公式：$\psi(E_{ij}) = \lambda_i \lambda_j E_{ij}$
提示：注意矩阵乘法顺序：左乘$\Lambda$作用在行，右乘作用在列。
步骤 3/4
目标：得出$\psi$可对角化
由$\psi(E_{ij}) = \lambda_i \lambda_j E_{ij}$可知，每个$E_{ij}$都是$\psi$的特征向量，对应特征值$\lambda_i \lambda_j$。由于$\{E_{ij}\}$构成$M_n(\mathbb{C})$的一组基，$\psi$在该基下的矩阵是对角矩阵，对角元为$\lambda_i \lambda_j$。因此$\psi$可对角化。
提示：特征向量$E_{ij}$线性无关，构成一组基，所以$\psi$可对角化。
步骤 4/4
目标：反推$\varphi$可对角化
因为$\varphi$与$\psi$相似，所以$\varphi$也可对角化。具体地，$\varphi$在基$\{P E_{ij} P^{-1}\}$下的表示矩阵为对角阵，对角元为$\lambda_i \lambda_j$。
提示：相似变换保持可对角化性质，注意基的变换。
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