湖南大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \ldots, \beta_{m}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上两向量组，定义 $\displaystyle (x, y)=x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上内积，且 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)= \left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)(\forall i, j=1, \ldots, m)$ 。证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定向量组的秩并选取极大线性无关组
设向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 的秩为 $r$，不妨设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 是它的一个极大线性无关组。由条件 $(\alpha_i,\alpha_j)=(\beta_i,\beta_j)$ 知，$\beta_1,\ldots,\beta_r$ 也线性无关，且 $\beta_1,\ldots,\beta_m$ 的秩也为 $r$。
提示：注意内积相等保证Gram矩阵相同，从而秩相等。
步骤 2/6
目标：对极大线性无关组进行标准正交化
将 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 进行Gram-Schmidt正交化，得到标准正交基 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)P$，且 $(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\delta_{ij}$。对 $\beta_1,\ldots,\beta_r$ 做相同的正交化过程（由于内积相同，得到的系数矩阵相同），得到标准正交向量组 $\eta_1,\ldots,\eta_r$，满足 $(\eta_1,\ldots,\eta_r)=(\beta_1,\ldots,\beta_r)P$。
公式：Gram-Schmidt正交化公式
提示：注意正交化过程中系数矩阵由内积决定，内积相等保证系数矩阵相同。
步骤 3/6
目标：扩充为标准正交基
将 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r$ 扩充为 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$，将 $\eta_1,\ldots,\eta_r$ 扩充为 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\eta_1,\ldots,\eta_n$。
提示：扩充时保证正交性，例如使用Schmidt正交化补充向量。
步骤 4/6
目标：定义正交变换
定义线性变换 $\mathscr{A}$ 为：$\mathscr{A}(\varepsilon_i)=\eta_i$，$i=1,\ldots,n$。则 $\mathscr{A}$ 是正交变换，因为它将一组标准正交基映为另一组标准正交基。
提示：正交变换的等价定义：保持内积的线性变换。
步骤 5/6
目标：验证变换将α_i映为β_i
对于任意 $\alpha_i$，设 $\alpha_i = \sum_{j=1}^r a_{ij}\alpha_j$，则 $\alpha_i = \sum_{j=1}^r b_{ij}\varepsilon_j$，其中 $(b_{i1},\ldots,b_{ir})$ 由 $\alpha_i$ 在 $\varepsilon$ 基下的坐标决定。由于 $\beta_i$ 与 $\alpha_i$ 有相同的内积矩阵，故 $\beta_i = \sum_{j=1}^r b_{ij}\eta_j$。于是 $\mathscr{A}(\alpha_i) = \sum_{j=1}^r b_{ij}\mathscr{A}(\varepsilon_j) = \sum_{j=1}^r b_{ij}\eta_j = \beta_i$。
提示：注意坐标表示的唯一性，以及内积相等保证坐标相同。
步骤 6/6
目标：结论
因此，存在正交变换 $\mathscr{A}$ 使得 $\mathscr{A}(\alpha_i)=\beta_i$ 对所有 $i=1,\ldots,m$ 成立。
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