湖南大学 2026年高等代数第8题

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，其正惯性指数为 $r$，负惯性指数为 $s$，则 $r+s \leq n$。题目要求证明：$r \geq p$ 当且仅当存在 $p$ 维子空间 $W \subseteq \mathbb{R}^n$，使得对任意非零 $x \in W$，有 $x^T A x > 0$。

若 $r \geq p$，则存在 $p$ 个线性无关的向量 $v_1, \dots, v_p$ 使得 $v_i^T A v_i > 0$（例如，取对应于 $p$ 个正特征值的特征向量）。令 $W = \operatorname{span}\{v_1, \dots, v_p\}$，则 $\dim W = p$。对任意非零 $x \in W$，设 $x = \sum_{i=1}^p c_i v_i$，则 $x^T A x = \sum_{i=1}^p c_i^2 v_i^T A v_i > 0$（这里假设 $v_i$ 是正交的，否则可通过Gram-Schmidt正交化保证交叉项为零，但注意正交化后仍保持正定性）。因此 $W$ 满足条件。

假设存在 $p$ 维子空间 $W$ 使得对所有非零 $x \in W$ 有 $x^T A x > 0$。考虑 $A$ 的合同标准形：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = \begin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \\ 0 & -I_s & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。设 $U = P^{-1} W$，则 $U$ 是 $p$ 维子空间。对任意 $y \in U$，$y \neq 0$，有 $x = Py \in W$，故 $x^T A x = y^T (P^T A P) y > 0$。

记 $y = (y_1, y_2, y_3)$ 按分块，其中 $y_1 \in \mathbb{R}^r$，$y_2 \in \mathbb{R}^s$，$y_3 \in \mathbb{R}^{n-r-s}$。则 $y^T (P^T A P) y = y_1^T y_1 - y_2^T y_2 > 0$。特别地，$y_1 \neq 0$（否则若 $y_1=0$，则 $-y_2^T y_2 > 0$ 迫使 $y_2=0$，但 $y$ 非零时 $y_3$ 可任意，导致矛盾）。

考虑投影映射 $\pi: U \to \mathbb{R}^r$，$\pi(y) = y_1$。若 $y \in \ker \pi$，则 $y_1 = 0$，由 $y_1^T y_1 - y_2^T y_2 > 0$ 得 $-y_2^T y_2 > 0$，这迫使 $y_2 = 0$，进而 $y_3$ 任意，但 $y \neq 0$ 时 $y_3$ 非零，然而 $-y_2^T y_2 = 0$ 与 $>0$ 矛盾，故 $\ker \pi = \{0\}$。因此 $\pi$ 是单射。

由于 $\pi$ 是单射，有 $\dim U \leq \dim \mathbb{R}^r = r$。而 $\dim U = p$，故 $p \leq r$，即 $A$ 的正惯性指数 $r \geq p$。

综上，必要性：若 $r \geq p$，则存在 $p$ 维子空间 $W$ 满足条件；充分性：若存在这样的 $W$，则 $r \geq p$。因此命题得证。