湖南大学 2026年高等代数第7题

设 $A$ 的行向量为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$，$B$ 的行向量为 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$。需要证明：$A$ 的行向量组可由 $B$ 的行向量组线性表出当且仅当 $BX=0$ 的解均为 $AX=0$ 的解。

若 $A$ 的行向量组可由 $B$ 的行向量组线性表出，则存在 $n \times m$ 矩阵 $C$ 使得 $A = C B$。对任意 $X$ 满足 $B X = 0$，有 $A X = (C B) X = C (B X) = C \cdot 0 = 0$，故 $B X = 0$ 的解均为 $A X = 0$ 的解。

若 $B X = 0$ 的解均为 $A X = 0$ 的解，则线性方程组 $B X = 0$ 的解空间包含于 $A X = 0$ 的解空间。解空间维数分别为 $l - \operatorname{rank}(B)$ 和 $l - \operatorname{rank}(A)$，由包含关系得 $l - \operatorname{rank}(B) \leq l - \operatorname{rank}(A)$，即 $\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)$。

考虑矩阵 $\begin{pmatrix} B \\ A \end{pmatrix}$，其行向量组为 $\beta_1, \dots, \beta_n, \alpha_1, \dots, \alpha_m$。$A$ 的行向量组可由 $B$ 的行向量组线性表出当且仅当 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} B \\ A \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(B)$。

由于 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} B \\ A \end{pmatrix} = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} B^T & A^T \end{pmatrix}$，而 $\begin{pmatrix} B^T & A^T \end{pmatrix}$ 的列向量为 $B^T$ 和 $A^T$ 的列向量。由解空间包含关系，$A^T$ 的列向量可由 $B^T$ 的列向量线性表出（因为 $BX=0$ 的解空间包含于 $AX=0$ 的解空间意味着 $A^T$ 的列空间包含于 $B^T$ 的列空间），故 $\operatorname{rank}(B^T, A^T) = \operatorname{rank}(B^T)$。

因此 $\operatorname{rank}\begin{pmatrix} B \\ A \end{pmatrix} = \operatorname{rank}(B)$，从而 $A$ 的行向量组可由 $B$ 的行向量组线性表出。充分性得证。