湖南师范大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4．已知实矩阵 $A$ 的顺序主子式均非负，$A$ 是否为半正定矩阵？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题
题目问：已知实矩阵 $A$ 的顺序主子式均非负，$A$ 是否为半正定矩阵？我们需要判断这个条件是否充分。
提示：注意：顺序主子式非负是半正定的必要条件，但未必充分。
步骤 2/6
目标：回顾半正定矩阵的定义
对于实对称矩阵 $A$，半正定定义为：对任意非零实向量 $x$，有 $x^T A x \geq 0$。但题目中 $A$ 只是实矩阵，未说明对称。
公式：半正定定义：$x^T A x \geq 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}^n$
提示：通常半正定针对对称矩阵，但题目未明确，需考虑一般情况。
步骤 3/6
目标：分析顺序主子式非负的条件
顺序主子式非负：$\Delta_k = \det(A[1..k, 1..k]) \geq 0$ 对所有 $k=1,\dots,n$ 成立。这是半正定对称矩阵的必要条件，但非充分。
公式：$\Delta_k = \det(A_{k \times k}) \geq 0$
提示：注意：对于非对称矩阵，顺序主子式非负与半正定无关。
步骤 4/6
目标：构造反例
考虑 $2 \times 2$ 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。计算顺序主子式：$\Delta_1 = 0$，$\Delta_2 = \det(A) = 0$，均非负。
公式：$\det(A) = 0 \cdot (-1) - 0 \cdot 0 = 0$
提示：注意：$\det(A)=0$ 满足非负条件。
步骤 5/6
目标：验证反例不是半正定
取向量 $x = (0, 1)^T$，计算二次型：$x^T A x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 < 0$。因此 $A$ 不是半正定。
公式：$x^T A x = -1$
提示：注意：即使所有顺序主子式非负，也可能存在负的二次型值。
步骤 6/6
目标：得出结论
反例表明，顺序主子式非负不能保证矩阵半正定。因此，题目中的 $A$ 不一定为半正定矩阵。
提示：对于对称矩阵，顺序主子式非负是半正定的必要条件，但非充分（还需所有主子式非负）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。