📝 湖南师范大学 2025年高等代数真题
第1题
1．所有的4阶矩阵构成的16维线性空间中，是否存在一个4阶矩阵 $A$ ，使得 $\displaystyle A, A^{2}, A^{3}, A^{4}, A^{5}$ 线性无关。
第2题
2．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f(t), g(t)$ 是两个多项式，$\displaystyle h(t)=f(t) g(t)$ ，问什么情况下，有 $\displaystyle f(\mathscr{A}) V \cap g(\mathscr{A}) V=h(\mathscr{A}) V$ ．
第3题
3．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，问什么情况下有 $\displaystyle V=\bigcup_{i=1}^{s} V_{i}$ ．
第4题
4．已知实矩阵 $A$ 的顺序主子式均非负，$A$ 是否为半正定矩阵？
第5题
5．两个矩阵的特征多项式和最小多项式均相等，是否能得到它们相似？
第6题
6．将多项式 $\displaystyle f(x)=x^{8}-x^{7}+7 x^{2}-6 x-1$ 在有理数域上分解成不可约因式的乘积．
第7题
7．求复矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}
\end{array}\right)
$$
的特征值和特征向量．
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}
\end{array}\right)
$$
的特征值和特征向量．
第8题
8．计算行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1^{3} & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\
2^{3} & 3^{3} & 4^{3} & 5^{3} \\
3^{3} & 4^{3} & 5^{3} & 6^{3} \\
\left(\frac{1}{2}\right)^{3} & \left(\frac{3}{2}\right)^{3} & \left(\frac{5}{2}\right)^{3} & \left(\frac{7}{2}\right)^{3}
\end{array}\right|
$$
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1^{3} & 2^{3} & 3^{3} & 4^{3} \\
2^{3} & 3^{3} & 4^{3} & 5^{3} \\
3^{3} & 4^{3} & 5^{3} & 6^{3} \\
\left(\frac{1}{2}\right)^{3} & \left(\frac{3}{2}\right)^{3} & \left(\frac{5}{2}\right)^{3} & \left(\frac{7}{2}\right)^{3}
\end{array}\right|
$$
第9题
9．已知 $\displaystyle S=\left\{X Y-Y X \mid X, Y \in \mathbb{F}^{n \times n}\right\}$ ．
（1）证明：$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\right\}$ ．
（2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} S$ ．
（1）证明：$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\right\}$ ．
（2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} S$ ．
第10题
10．设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是两两互异的整数，证明：$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\left(x-a_{i}\right)-1$ 在有理数域上不可约．
第11题
11．设 $A$ 是正定的正交矩阵，证明：$\displaystyle A=E$ ．
第12题
12．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle u \in V$ ，且 $\displaystyle u, \mathscr{A}^{\prime} u, \mathscr{A}^{2} u, \cdots, \mathscr{A}^{n-1} u$ 构成 $V$的一组基，记 $\displaystyle L(V)$ 是 $V$ 上所有线性变换的集合．
（1）记 $\displaystyle C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in L(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$\displaystyle C(\mathscr{A})$ 为线性空间．
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} C(\mathscr{A})=n$ ．
（3）证明：若 $\displaystyle \mathscr{B} \in C(\mathscr{A})$ ，则存在 $\displaystyle f(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．
（1）记 $\displaystyle C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in L(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$\displaystyle C(\mathscr{A})$ 为线性空间．
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} C(\mathscr{A})=n$ ．
（3）证明：若 $\displaystyle \mathscr{B} \in C(\mathscr{A})$ ，则存在 $\displaystyle f(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．
第13题
13．设 $\displaystyle A_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 个非零矩阵，满足
$$
A_{i k} A_{l j}= \begin{cases}A_{i j}, & k=l \\ O, & k \neq l\end{cases}
$$
证明：存在公共的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{i j} P$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 。其余元素为 目的矩阵。
$$
A_{i k} A_{l j}= \begin{cases}A_{i j}, & k=l \\ O, & k \neq l\end{cases}
$$
证明：存在公共的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{i j} P$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 。其余元素为 目的矩阵。