湖南师范大学 2025年高等代数第3题

题目要求找出线性空间 $V$ 的子空间 $V_1, V_2, \dots, V_s$ 满足 $V = \bigcup_{i=1}^s V_i$ 的条件。即并集等于整个空间。

如果存在某个 $i$ 使得 $V_i = V$，那么显然 $\bigcup_{i=1}^s V_i = V$。因此，一个充分条件是至少有一个子空间等于 $V$。

假设每个 $V_i$ 都是 $V$ 的真子空间（即 $V_i \neq V$），并假设 $V = \bigcup_{i=1}^s V_i$。我们需要导出矛盾（在无限域上）。

取 $x \in V \setminus V_1$（因为 $V_1$ 是真子空间，存在这样的 $x$），取 $y \in V \setminus V_2$。考虑向量族 $x + \lambda y$，其中 $\lambda$ 属于域 $\mathbb{F}$。

由于域 $\mathbb{F}$ 是无限的（如实数域或复数域），存在无穷多个不同的 $\lambda$。对于每个固定的 $i$，如果存在两个不同的 $\lambda_1, \lambda_2$ 使得 $x+\lambda_1 y$ 和 $x+\lambda_2 y$ 都属于 $V_i$，则它们的差 $(\lambda_1-\lambda_2)y \in V_i$，从而 $y \in V_i$。但 $y \notin V_2$，且对于 $i \neq 2$，也可能导致矛盾。实际上，每个 $V_i$ 最多只能包含一个形如 $x+\lambda y$ 的向量（否则 $y \in V_i$）。因此，所有 $V_i$ 总共最多包含 $s$ 个这样的向量。但存在无穷多个 $\lambda$，所以存在某个 $\lambda_0$ 使得 $x+\lambda_0 y$ 不在任何 $V_i$ 中，这与 $V = \bigcup V_i$ 矛盾。

因此，在无限域上，$V = \bigcup_{i=1}^s V_i$ 当且仅当存在某个 $i$ 使得 $V_i = V$。即并集等于整个空间当且仅当其中一个子空间已经是整个空间。

如果域是有限的，例如 $\mathbb{F}_2$，则有限维空间可以表示为有限个真子空间的并集。例如，$\mathbb{F}_2^2$ 有四个向量，三个一维子空间（每个包含零向量和一个非零向量）的并集就是整个空间。因此，在有限域上，条件更复杂，需要具体分析。

在无限域上，$V = \bigcup_{i=1}^s V_i$ 当且仅当存在某个 $i$ 使得 $V_i = V$。在有限域上，可能存在真子空间的并集等于整个空间的情况。