湖南师范大学 2025年高等代数第5题

问题：两个矩阵的特征多项式和最小多项式均相等，是否能得到它们相似？我们需要判断这个命题是否成立。

相似矩阵有相同的特征多项式和最小多项式，但反之不成立。特征多项式相同意味着特征值相同（包括代数重数），最小多项式相同意味着最大Jordan块的尺寸相同，但Jordan块的组合方式可能不同。

要构造两个矩阵，它们特征多项式相同（比如都是$\lambda^n$），最小多项式也相同（比如都是$\lambda^k$），但Jordan标准形不同。例如，考虑4阶矩阵，特征值全为0，最小多项式为$\lambda^2$，但Jordan块结构不同。

取矩阵$A$为两个2阶Jordan块的直和： $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 即$J_2(0) \oplus J_2(0)$。

取矩阵$B$为一个3阶Jordan块和一个1阶Jordan块的直和： $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 即$J_3(0) \oplus J_1(0)$。

计算特征多项式： $\det(\lambda I - A) = \lambda^4$，$\det(\lambda I - B) = \lambda^4$。因为特征值全为0，且代数重数为4。

计算最小多项式： 对于$A$，最大Jordan块大小为2，所以$m_A(\lambda) = \lambda^2$。 对于$B$，最大Jordan块大小为3，但注意最小多项式是$\lambda^3$？实际上，$B$的Jordan块有3阶和1阶，最大块是3阶，所以最小多项式应为$\lambda^3$。但我们需要最小多项式相等，因此需要调整反例。 重新考虑：取$A$为两个2阶Jordan块，$B$为一个2阶Jordan块和两个1阶Jordan块？但这样最小多项式不同。 正确反例：取$A$为两个2阶Jordan块，$B$为一个2阶Jordan块和两个1阶Jordan块？但$B$的最小多项式是$\lambda^2$吗？实际上，$B$的Jordan块有2阶和1阶，最大块是2阶，所以最小多项式也是$\lambda^2$。但此时$B$的Jordan标准形是$J_2(0) \oplus J_1(0) \oplus J_1(0)$，而$A$是$J_2(0) \oplus J_2(0)$，两者不相似。 因此，修正反例： $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}?$$ 实际上，$B$应为： $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 但这是3阶？不对。 正确构造：设$A$有两个2阶Jordan块，$B$有一个2阶Jordan块和两个1阶Jordan块。但4阶矩阵，两个1阶Jordan块就是两个0。所以$B$的Jordan标准形为$J_2(0) \oplus 0 \oplus 0$。 那么$B$的矩阵形式为： $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 但这是4阶吗？实际上，这个矩阵是4阶，但只有左上角2x2块是Jordan块，其余为零。 特征多项式：$\det(\lambda I - B) = \lambda^4$。 最小多项式：$B$的Jordan块最大为2，所以$m_B(\lambda)=\lambda^2$。 而$A$的最小多项式也是$\lambda^2$。 但$A$和$B$的Jordan标准形不同：$A$有两个2阶块，$B$有一个2阶块和两个1阶块，所以不相似。 因此，反例成立。 注意：原答案中的反例$B$是$J_3(0) \oplus J_1(0)$，其最小多项式是$\lambda^3$，与$A$的$\lambda^2$不同，所以原答案有误。这里修正为正确的反例。

由于$A$和$B$的特征多项式均为$\lambda^4$，最小多项式均为$\lambda^2$，但Jordan标准形不同，因此不相似。所以特征多项式和最小多项式均相等不能保证矩阵相似。