湖南师范大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．将多项式 $\displaystyle f(x)=x^{8}-x^{7}+7 x^{2}-6 x-1$ 在有理数域上分解成不可约因式的乘积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：寻找有理根
设 $f(x)=x^8 - x^7 + 7x^2 - 6x - 1$。根据有理根定理，可能的有理根为 $\pm1$。计算 $f(1)=1-1+7-6-1=0$，所以 $x=1$ 是一个根。
公式：有理根定理：若 $p/q$ 是整系数多项式的根，则 $p$ 整除常数项，$q$ 整除首项系数。
提示：注意检查所有可能的有理根，不要遗漏负根。
步骤 2/6
目标：多项式除法
用综合除法将 $f(x)$ 除以 $x-1$：
\[
\begin{array}{r|rrrrrrrr}
1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & -6 & -1 \\
& & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 1 \\
\hline
& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 1 & 0 \\
\end{array}
\]
得到 $f(x)=(x-1)(x^7+7x+1)$。
公式：综合除法步骤：将根放在左边，系数依次排列，逐次下加并乘以根。
提示：注意缺项补0，确保系数对齐。
步骤 3/6
目标：检查剩余因式的有理根
令 $g(x)=x^7+7x+1$。再次尝试有理根 $\pm1$：$g(1)=1+7+1=9\neq0$，$g(-1)=-1-7+1=-7\neq0$。所以 $g(x)$ 无一次有理因式。
提示：不要忘记检查负根。
步骤 4/6
目标：应用模p约化判定不可约性
考虑 $g(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是否可约。取素数 $p=2$，将系数模2得到 $\bar{g}(x)=x^7+x+1$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上。检查是否有根：$\bar{g}(0)=1$，$\bar{g}(1)=1+1+1=1$，无一次因式。
公式：模p约化：若 $f(x)$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中且 $p$ 不整除首项系数，则 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上可约蕴含 $\bar{f}$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上可约。
提示：选择素数 $p$ 时，确保 $p$ 不整除首项系数，且模后多项式次数不变。
步骤 5/6
目标：验证模2下无低次因式
在 $\mathbb{F}_2$ 上，不可约二次多项式只有 $x^2+x+1$。用 $x^2+x+1$ 除 $x^7+x+1$：利用 $x^2\equiv x+1$ 化简，得余数为1，故无二次因式。不可约三次多项式有 $x^3+x+1$ 和 $x^3+x^2+1$。分别检验：
- 用 $x^3+x+1$：$x^3\equiv x+1$，计算得余数 $x$；
- 用 $x^3+x^2+1$：$x^3\equiv x^2+1$，计算得余数 $x$。
均不为0，故无三次因式。因此 $\bar{g}(x)$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上不可约。
公式：多项式除法模2：利用关系式 $x^2\equiv x+1$ 等降次。
提示：注意模2运算中系数为0或1，加法为异或。
步骤 6/6
目标：得出不可约结论
由于 $\bar{g}(x)$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上不可约，根据模p约化定理，$g(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上也不可约。因此 $f(x)$ 的有理数域不可约分解为 $f(x)=(x-1)(x^7+7x+1)$，其中 $x^7+7x+1$ 不可约。
公式：模p约化定理的逆否命题：若 $\bar{f}$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上不可约，则 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
提示：注意模p约化定理要求 $p$ 不整除首项系数，且 $f$ 是本原多项式。这里 $f$ 首一，满足条件。
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