湖南师范大学 2025年高等代数第11题
📝 题目
11．设 $A$ 是正定的正交矩阵，证明：$\displaystyle A=E$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知 $A$ 是正定矩阵且是正交矩阵。正定矩阵的定义：对于任意非零向量 $x$，有 $x^T A x > 0$，且 $A$ 是对称矩阵（正定矩阵必对称）。正交矩阵的定义：$A^T A = E$，即 $A^{-1} = A^T$。
公式：$A^T A = E$
提示：注意正定矩阵隐含对称性，正交矩阵不一定对称，但这里正定保证了对称。
步骤 2/5
目标：分析特征值性质
由于 $A$ 是正定矩阵，其特征值均为正实数。由于 $A$ 是正交矩阵，其特征值的模长为1。综合两者，$A$ 的特征值只能是1。
公式：正定矩阵特征值 $\lambda > 0$；正交矩阵特征值 $|\lambda| = 1$
提示：注意正交矩阵的特征值可以是复数，但模长为1；正定矩阵的特征值必须是实数且正，因此只能是1。
步骤 3/5
目标：利用对称性正交对角化
因为 $A$ 是实对称矩阵（正定矩阵必对称），所以存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ 是对角矩阵，对角线元素为 $A$ 的特征值。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$，$Q^T Q = E$
提示：正交对角化要求矩阵对称，这里正定性保证了对称性。
步骤 4/5
目标：代入特征值
由步骤2知所有特征值 $\lambda_i = 1$，因此 $\Lambda = E$（单位矩阵）。
公式：$\Lambda = \operatorname{diag}(1,1,\dots,1) = E$
提示：注意对角矩阵元素全为1时即为单位矩阵。
步骤 5/5
目标：推导出A为单位矩阵
由 $Q^T A Q = E$，左乘 $Q$ 右乘 $Q^T$ 得 $A = Q E Q^T = Q Q^T = E$。
公式：$A = Q E Q^T = E$
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，$Q Q^T = E$。
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