湖南师范大学 2025年高等代数第10题

设 $f(x)=\prod_{i=1}^n (x-a_i)-1$，其中 $a_1,\dots,a_n$ 是两两互异的整数。假设 $f(x)$ 在有理数域上可约，则存在次数至少为1的有理系数多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$。由于 $f(x)$ 是首一整系数多项式，由高斯引理，可设 $g(x),h(x)$ 是首一整系数多项式。

对于每个 $i=1,\dots,n$，有 $f(a_i)=-1$，所以 $g(a_i)h(a_i)=-1$。由于 $g(a_i),h(a_i)$ 都是整数，因此 $g(a_i)=\pm1$ 且 $h(a_i)=\mp1$。特别地，$g(a_i)\in\{1,-1\}$。

考虑多项式 $g(x)$，它在 $n$ 个不同的点 $a_1,\dots,a_n$ 上取值均为 $\pm1$。若 $\deg g < n$，则 $g(x)$ 在这些点上取值相同或相反，但 $g(x)$ 是多项式，若 $g(a_i)=1$ 对所有 $i$ 成立，则 $g(x)-1$ 有 $n$ 个不同的根，但次数小于 $n$，故 $g(x)-1\equiv0$，即 $g(x)\equiv1$，矛盾（因为 $g$ 次数至少1）。同理，若 $g(a_i)=-1$ 对所有 $i$ 成立，则 $g(x)+1$ 有 $n$ 个根，次数小于 $n$，得 $g(x)\equiv-1$，矛盾。因此 $g(x)$ 在 $a_i$ 上取值不能全相同，即存在 $i,j$ 使得 $g(a_i)=1$ 且 $g(a_j)=-1$。于是 $g(x)$ 在 $n$ 个点上取值有正有负，且 $\deg g \ge n$（否则 $g(x)$ 作为次数小于 $n$ 的多项式不可能在 $n$ 个点上取到两个不同的值）。同理，$\deg h \ge n$。

但 $\deg f = n$，而 $\deg g + \deg h = n$，故 $\deg g = \deg h = n/2$，因此 $n$ 为偶数。设 $n=2m$，则 $\deg g = \deg h = m$。

考虑多项式 $g(x)-h(x)$，它的次数小于 $m$（因为首项系数均为1，相减消去最高次项）。对于每个 $i$，$g(a_i)h(a_i)=-1$，且 $g(a_i),h(a_i)=\pm1$，所以 $g(a_i)=-h(a_i)$，即 $g(a_i)+h(a_i)=0$。因此 $g(a_i)+h(a_i)=0$ 对所有 $i$ 成立，即多项式 $g(x)+h(x)$ 有 $n=2m$ 个不同的根。但 $\deg(g+h) \le m$（因为首项系数均为1，相加后最高次项系数为2，次数仍为 $m$），所以 $g(x)+h(x)$ 是次数不超过 $m$ 的多项式却有 $2m$ 个根，除非 $g+h\equiv0$，即 $g(x)=-h(x)$。

但 $g,h$ 都是首一多项式，若 $g=-h$，则首项系数 $1=-1$，矛盾。因此假设不成立，$f(x)$ 在有理数域上不可约。