湖南师范大学 2025年高等代数第9题

对于任意 $X, Y \in \mathbb{F}^{n \times n}$，计算 $\operatorname{tr}(XY - YX) = \operatorname{tr}(XY) - \operatorname{tr}(YX)$。由于迹的循环性质 $\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$，所以 $\operatorname{tr}(XY - YX) = 0$。因此 $S \subseteq \{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\}$。

考虑标准基矩阵 $E_{ij}$（第 $i$ 行第 $j$ 列为1，其余为0）。对于 $i \neq j$，有 $E_{ij} = E_{ii}E_{ij} - E_{ij}E_{ii}$，所以 $E_{ij} \in S$。对于 $i=1,\ldots,n-1$，有 $E_{ii} - E_{i+1,i+1} = E_{i,i+1}E_{i+1,i} - E_{i+1,i}E_{i,i+1} \in S$。因此，所有形如 $E_{ij}$（$i \neq j$）和 $E_{ii} - E_{i+1,i+1}$ 的矩阵都属于 $S$。

设 $A \in \mathbb{F}^{n \times n}$ 且 $\operatorname{tr}(A)=0$。将 $A$ 表示为 $A = \sum_{i=1}^n a_{ii}E_{ii} + \sum_{i \neq j} a_{ij}E_{ij}$。由于 $\sum_{i=1}^n a_{ii}=0$，我们可以将对角部分写成 $\sum_{i=1}^{n-1} c_i (E_{ii} - E_{i+1,i+1})$，其中 $c_i = \sum_{k=1}^i a_{kk}$。非对角部分 $\sum_{i \neq j} a_{ij}E_{ij}$ 是 $E_{ij}$ 的线性组合。由于 $E_{ij}$（$i \neq j$）和 $E_{ii} - E_{i+1,i+1}$ 都属于 $S$，且 $S$ 是子空间，所以 $A \in S$。因此 $\{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\} \subseteq S$。

由两步包含关系，得到 $S = \{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\}$。

全体 $n \times n$ 矩阵空间 $\mathbb{F}^{n \times n}$ 的维数为 $n^2$。迹为零的条件 $\operatorname{tr}(X)=0$ 是一个线性方程，且不是零方程（例如 $E_{11}$ 的迹不为零），因此该子空间的维数为 $n^2 - 1$。所以 $\dim S = n^2 - 1$。