湖南师范大学 2025年高等代数第12题
📝 题目
12．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle u \in V$ ，且 $\displaystyle u, \mathscr{A}^{\prime} u, \mathscr{A}^{2} u, \cdots, \mathscr{A}^{n-1} u$ 构成 $V$的一组基，记 $\displaystyle L(V)$ 是 $V$ 上所有线性变换的集合．
（1）记 $\displaystyle C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in L(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$\displaystyle C(\mathscr{A})$ 为线性空间．
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} C(\mathscr{A})=n$ ．
（3）证明：若 $\displaystyle \mathscr{B} \in C(\mathscr{A})$ ，则存在 $\displaystyle f(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明C(𝒜)是线性空间
首先，零变换𝒪满足𝒜𝒪=𝒪𝒜，故𝒪∈C(𝒜)。其次，对任意ℬ₁,ℬ₂∈C(𝒜)，有𝒜ℬ₁=ℬ₁𝒜，𝒜ℬ₂=ℬ₂𝒜，则𝒜(ℬ₁+ℬ₂)=𝒜ℬ₁+𝒜ℬ₂=ℬ₁𝒜+ℬ₂𝒜=(ℬ₁+ℬ₂)𝒜，故ℬ₁+ℬ₂∈C(𝒜)。对任意k∈P，ℬ∈C(𝒜)，有𝒜(kℬ)=k(𝒜ℬ)=k(ℬ𝒜)=(kℬ)𝒜，故kℬ∈C(𝒜)。因此C(𝒜)是L(V)的子空间，从而是线性空间。
提示：注意验证子空间的三条：零元、加法封闭、数乘封闭。
步骤 2/7
目标：构造线性映射φ: C(𝒜)→V
定义φ(ℬ)=ℬu，其中u是给定的向量，且{u, 𝒜u, …, 𝒜^{n-1}u}是V的一组基。φ显然是线性映射。
公式：φ(ℬ)=ℬu
提示：φ的定义依赖于基的选取，但这里基是固定的。
步骤 3/7
目标：证明φ是单射
若φ(ℬ)=0，即ℬu=0。由于ℬ与𝒜可交换，对任意k，有ℬ𝒜^k u = 𝒜^k ℬu = 0。因此ℬ在基{𝒜^k u}上作用为零，故ℬ=0。所以φ是单射。
公式：ℬ𝒜^k u = 𝒜^k ℬu
提示：关键利用可交换性将ℬ作用在基向量上转化为ℬu。
步骤 4/7
目标：证明φ是满射
对任意v∈V，存在唯一表示v=∑_{i=0}^{n-1} a_i 𝒜^i u。定义线性变换ℬ满足ℬu=v，且对基向量𝒜^k u，定义ℬ𝒜^k u = 𝒜^k v。需验证ℬ与𝒜可交换：对基向量𝒜^k u，有ℬ𝒜(𝒜^k u)=ℬ𝒜^{k+1}u=𝒜^{k+1}v，而𝒜ℬ(𝒜^k u)=𝒜𝒜^k v=𝒜^{k+1}v，故ℬ𝒜=𝒜ℬ。因此ℬ∈C(𝒜)且φ(ℬ)=v。所以φ是满射。
公式：ℬ𝒜^k u = 𝒜^k v
提示：定义ℬ时需保证线性性，并验证可交换性。
步骤 5/7
目标：得出维数结论
φ是线性同构，故dim C(𝒜)=dim V=n。
提示：同构的线性空间维数相等。
步骤 6/7
目标：证明存在多项式f(x)使得ℬ=f(𝒜)
设ℬ∈C(𝒜)。考虑ℬu∈V，由于{u, 𝒜u, …, 𝒜^{n-1}u}是基，ℬu可唯一表示为∑_{i=0}^{n-1} b_i 𝒜^i u。取f(x)=∑_{i=0}^{n-1} b_i x^i，则ℬu=f(𝒜)u。
公式：ℬu = f(𝒜)u
提示：多项式的系数由ℬu在基下的坐标决定。
步骤 7/7
目标：证明ℬ=f(𝒜)
对任意基向量𝒜^k u，有ℬ𝒜^k u = 𝒜^k ℬu = 𝒜^k f(𝒜)u = f(𝒜)𝒜^k u。因此ℬ与f(𝒜)在基上作用相同，故ℬ=f(𝒜)。
公式：ℬ𝒜^k u = f(𝒜)𝒜^k u
提示：利用可交换性将ℬ作用在𝒜^k u上转化为𝒜^k ℬu。
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