湖南师范大学 2025年高等代数第13题

13．设 $\displaystyle A_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 个非零矩阵，满足 $$ A_{i k} A_{l j}= \begin{cases}A_{i j}, & k=l \\ O, & k \neq l\end{cases} $$ 证明：存在公共的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{i j} P$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 。其余元素为 目的矩阵。