电子科技大学 2022年高等代数第5题
📝 题目
5．数域 $F$ 上 4 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 4 个不同的特征值，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的 2 维不变子空间的个数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定特征值和特征向量
设 $\mathscr{A}$ 的4个不同特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$，对应的特征向量为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$。由于特征值互异，特征向量线性无关，它们构成 $V$ 的一组基。
提示：注意特征值互异保证特征向量线性无关，从而构成基。
步骤 2/5
目标：分析不变子空间的结构
对于线性变换 $\mathscr{A}$，任一不变子空间 $W$ 满足 $\mathscr{A}(W) \subseteq W$。由于特征值互异，$\mathscr{A}$ 可对角化，且不变子空间必为特征子空间的直和。即 $W = \bigoplus_{i \in I} V_{\lambda_i}$，其中 $I \subseteq \{1,2,3,4\}$，$V_{\lambda_i}$ 是特征值 $\lambda_i$ 的特征子空间（一维）。
公式：$W = \bigoplus_{i \in I} V_{\lambda_i}$
提示：特征值互异时，每个特征子空间是一维的，不变子空间由若干特征子空间直和构成。
步骤 3/5
目标：确定2维不变子空间的形式
2维不变子空间必须由两个一维特征子空间直和得到，即 $W = V_{\lambda_i} \oplus V_{\lambda_j}$，其中 $i \neq j$。等价地，$W$ 由两个特征向量 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ 张成：$W = \langle \alpha_i, \alpha_j \rangle$。
公式：$W = \langle \alpha_i, \alpha_j \rangle$
提示：注意不能由同一个特征子空间的两个向量，因为特征子空间是一维的。
步骤 4/5
目标：计算所有可能的2维不变子空间个数
从4个特征向量中任选2个，共有 $\binom{4}{2} = 6$ 种选择。每个选择对应一个2维不变子空间，且不同选择对应不同子空间（因为特征向量线性无关）。因此，2维不变子空间的个数为6。
公式：$\binom{4}{2} = 6$
提示：注意组合数计算，不要遗漏或重复。
步骤 5/5
目标：验证结论
由于特征值互异，$\mathscr{A}$ 可对角化，不变子空间与特征向量的组合一一对应。因此，2维不变子空间恰好是6个。
提示：确保特征值互异条件被使用，否则结论不成立。
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