电子科技大学 2022年高等代数第6题
📝 题目
6．数域 $\displaystyle F \subseteq K$ ，那么数域 $K$ 中元关于通常元的加法与如下 $F$－数乘做成 $F$－空间：
$$
c \alpha:=c \cdot \alpha, c \in F, \alpha \in K, c \cdot \alpha \text { 为通常意义下的乘法. }
$$
另有 $\displaystyle F \subseteq K \subseteq E$ ，如果将 $K$ 视作 $F$－空间的维数为 2 ，将 $E$ 视作 $K$－空间的维数为 3 ，那么将 $E$ 视作 $F$－空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解问题中的域扩张关系
已知 $F \subseteq K \subseteq E$，且 $K$ 作为 $F$-空间的维数为 $[K:F]=2$，$E$ 作为 $K$-空间的维数为 $[E:K]=3$。需要求 $E$ 作为 $F$-空间的维数 $[E:F]$。
提示：注意域扩张的包含顺序，$F$ 是最小子域，$E$ 是最大域。
步骤 2/4
目标：回忆域的扩张的维数公式（塔性质）
对于域扩张链 $F \subseteq K \subseteq E$，有 $[E:F] = [E:K] \cdot [K:F]$。这个公式类似于有限维向量空间的维数乘积。
公式：[E:F] = [E:K] \cdot [K:F]
提示：该公式成立的前提是 $[E:K]$ 和 $[K:F]$ 都是有限的，本题中两者均有限。
步骤 3/4
目标：代入已知维数
将 $[K:F]=2$ 和 $[E:K]=3$ 代入公式：$[E:F] = 3 \times 2 = 6$。
公式：[E:F] = 3 \times 2 = 6
提示：注意乘法顺序不影响结果，但通常写成 $[E:K][K:F]$。
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此，$E$ 作为 $F$-空间的维数为 $6$。
提示：答案应填入空格中，即 $\boxed{6}$。
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