电子科技大学 2025年高等代数第14题
📝 题目
14．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, f(X, Y)=X^{T} A Y$ 是复数域上 2 维列向量空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{2}$ 上的对称双线性函数．证明：存在非零列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{2}$ ，使得 $\displaystyle f(\alpha, \alpha)=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由对称性推出A为对称矩阵
设 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$。由于 $f(X,Y)=X^T A Y$ 是对称双线性函数，对任意 $X,Y \in \mathbb{C}^2$，有 $X^T A Y = Y^T A X$。取 $X=e_i, Y=e_j$（$e_1=(1,0)^T, e_2=(0,1)^T$），得 $A_{ij}=A_{ji}$，故 $b=c$，即 $A$ 为对称矩阵。
公式：$X^T A Y = Y^T A X$
提示：注意对称双线性函数的定义：$f(X,Y)=f(Y,X)$，代入标准基向量即可得到矩阵对称性。
步骤 2/6
目标：将问题转化为二次型方程有非零解
要证存在非零列向量 $\alpha \in \mathbb{C}^2$ 使得 $f(\alpha,\alpha)=0$，即 $\alpha^T A \alpha = 0$。设 $\alpha = (x,y)^T$，则 $f(\alpha,\alpha)=ax^2+2bxy+dy^2=0$。这是一个关于 $x,y$ 的二次齐次方程。
公式：$\alpha^T A \alpha = ax^2+2bxy+dy^2=0$
提示：注意 $b=c$，所以交叉项系数为 $2b$。
步骤 3/6
目标：分析二次型方程在复数域上的解
在复数域上，二次型 $ax^2+2bxy+dy^2$ 可分解为两个一次因式的乘积，因为复数域代数封闭。判别式 $\Delta = (2b)^2-4ad = 4(b^2-ad)$。
公式：$\Delta = 4(b^2-ad)$
提示：复数域上任意二次多项式都可以分解为一次因式的乘积，这是代数基本定理的推论。
步骤 4/6
目标：分情况讨论：判别式非零
若 $\Delta \neq 0$，则方程 $ax^2+2bxy+dy^2=0$ 有两个不同的非零解（比例）。例如，将 $y$ 视为参数，解关于 $x$ 的二次方程，得到 $x = \frac{-2b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} y$（若 $a \neq 0$），取 $y=1$ 即得非零解。若 $a=0$，则方程化为 $2bxy+dy^2=0$，取 $y=1, x=-d/(2b)$ 即可。总之存在非零向量。
公式：$x = \frac{-2b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} y$
提示：注意 $a=0$ 时需单独处理，但结论仍然成立。
步骤 5/6
目标：分情况讨论：判别式为零
若 $\Delta = 0$，则 $b^2=ad$，此时二次型为完全平方：$ax^2+2bxy+dy^2 = (\sqrt{a}x+\sqrt{d}y)^2$（适当选取平方根，注意复数域平方根存在）。方程化为 $(\sqrt{a}x+\sqrt{d}y)^2=0$，即 $\sqrt{a}x+\sqrt{d}y=0$，存在非零解，例如取 $x=\sqrt{d}, y=-\sqrt{a}$。
公式：$ax^2+2bxy+dy^2 = (\sqrt{a}x+\sqrt{d}y)^2$
提示：当 $a=0$ 或 $d=0$ 时，平方根可能为0，但此时方程退化为 $2bxy=0$ 或 $dy^2=0$ 等，仍存在非零解。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上所述，无论判别式是否为零，总存在非零列向量 $\alpha \in \mathbb{C}^2$ 使得 $f(\alpha,\alpha)=0$。因此结论成立。
提示：注意复数域上二次型总有零点，这是与实数域不同的关键点。
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