📝 电子科技大学 2025年高等代数真题

三．证明题．前 4 题每题 10 分，最后一题 20 分，共 60 分．

1．设 2025 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 的秩均为 2020 ，则 $\displaystyle A B$ 的秩 $\displaystyle r(A B)$ 能取到的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．设 $\displaystyle A, B, C, D, E, F$ 均为 3 阶方阵，且

$$
\left(\begin{array}{ccc}
I_{3} & A & B \\
O & I_{3} & C \\
O & O & I_{3}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
I_{3} & D & F \\
O & I_{3} & E \\
O & O & I_{3}
\end{array}\right)
$$

已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，且 $\displaystyle C=A+B-I$ ，则行列式 $\displaystyle \operatorname{det} F=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ .

3．设 $A$ 为 4 阶方阵满足 $\displaystyle A^{4}+3 A^{2}+2 I=3 A^{3}+3 A$ ，伴随阵 $\displaystyle (A-I)^{*},(A-2 I)^{*}$ 秩均为 0 ，则 $\displaystyle A^{2}$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．多项式 $\displaystyle x^{2025}+1$ 除以 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 的余式 $\displaystyle r(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．设正交矩阵 $\displaystyle P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=P Y$ 下化为标准型 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，令 $\displaystyle Q=\left(-\alpha_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=Q Y$ 下化为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设复方阵 $A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{2},(\lambda-1)^{2}, \lambda+2,(\lambda+2)^{2}$ ，则 $A$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．已知向量组（I）：

$$
\alpha_{1}=(1,1,4)^{T}, \alpha_{2}=(1,0,4)^{T}, \alpha_{3}=\left(1,2, a^{2}+3\right)^{T}
$$

向量组（II）：

$$
\beta_{1}=(1,1, a+3)^{T}, \beta_{2}=(0,2,1-a)^{T}, \beta_{3}=\left(1,3, a^{2}+3\right)^{T}
$$

若向量组（I），（II）等价，求 $a$ 的值，并将 $\displaystyle \beta_{3}$ 用 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 表示．

8．设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-a x+3$ 的 3 个复根，$a$ 为整数．
（1）求行列式

$$
\left|\begin{array}{lll}
x_{1} & x_{2} & x_{3} \\
x_{2} & x_{3} & x_{1} \\
x_{3} & x_{1} & x_{2}
\end{array}\right|
$$

（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域可约，求 $a$ ．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $a$ ．

9．若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是复数域上 3 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足

$$
\mathscr{A} \alpha_{1}=3 \alpha_{1}-2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{2}=\alpha_{1}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{3}=-\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}
$$

（1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $A$ ，以及 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 。
（2）求 $V$ 的另一组基，使得该基下 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵恰为 $J$ 。

10．在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 关于标准内积构成的线性空间中，$\displaystyle \alpha=(1,2,1,1), \beta=(-2,0,0,1), V=\operatorname{span}(\alpha, \beta)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间．
（1）求 $V$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的正交补的一组基．
（2）求 $\displaystyle \gamma=(3,4-2,2)$ 在 $V$ 中的正交投影，即求 $\displaystyle \delta \in V$ ，使得 $\displaystyle \|\delta-\gamma\|$ 最小．

11．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ ．证明：存在 $V$ 的子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle W=V_{1} \oplus W=V_{2} \oplus W$ ．

12．证明多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1$ 在有理数域上不可约．

13．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，证明：线性方程组 $\displaystyle (A-\lambda I) X=\alpha$ 无解．

14．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, f(X, Y)=X^{T} A Y$ 是复数域上 2 维列向量空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{2}$ 上的对称双线性函数．证明：存在非零列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{2}$ ，使得 $\displaystyle f(\alpha, \alpha)=0$ 。

15．设 $\displaystyle B, C$ 为 $n$ 阶复矩阵。
（1）如果矩阵方程 $\displaystyle A X=X C$ 有非零解，证明：$\displaystyle B, C$ 有公共的特征值．
（2）如果 $\displaystyle B, C$ 有公共的特征值，证明：$\displaystyle B X=X C$ 有非零解．