电子科技大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle A, B, C, D, E, F$ 均为 3 阶方阵，且
$$
\left(\begin{array}{ccc}
I_{3} & A & B \\
O & I_{3} & C \\
O & O & I_{3}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
I_{3} & D & F \\
O & I_{3} & E \\
O & O & I_{3}
\end{array}\right)
$$
已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，且 $\displaystyle C=A+B-I$ ，则行列式 $\displaystyle \operatorname{det} F=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ .
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用分块矩阵乘法求逆矩阵关系
设 $M = \begin{pmatrix} I & A & B \\ O & I & C \\ O & O & I \end{pmatrix}$，其逆为 $N = \begin{pmatrix} I & D & F \\ O & I & E \\ O & O & I \end{pmatrix}$。由 $MN = I$ 得：
1. 第一行第二列：$I \cdot D + A \cdot I + B \cdot O = D + A = O$，故 $D = -A$。
2. 第一行第三列：$I \cdot F + A \cdot E + B \cdot I = F + AE + B = O$，故 $F = -AE - B$。
3. 第二行第三列：$O \cdot F + I \cdot E + C \cdot I = E + C = O$，故 $E = -C$。
公式：分块矩阵乘法：$\begin{pmatrix} I & A & B \\ O & I & C \\ O & O & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & D & F \\ O & I & E \\ O & O & I \end{pmatrix} = I$
提示：注意分块矩阵乘法的顺序，左乘右乘要对应；逆矩阵满足 $MN=I$，利用对应块相等列方程。
步骤 2/6
目标：推导F的表达式
由 $F = -AE - B$ 和 $E = -C$ 代入得 $F = -A(-C) - B = AC - B$。
公式：$F = AC - B$
提示：注意负号的处理，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：计算矩阵C
已知 $C = A + B - I$，其中 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$I$ 为3阶单位矩阵。计算得：
$C = \begin{pmatrix} 3+1-1 & 0+0-0 & 0+1-0 \\ 0+0-0 & 4+2-1 & 0+0-0 \\ 0+3-0 & 0+0-0 & 5+1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵加法：对应元素相加
提示：注意单位矩阵 $I$ 是对角线为1，其余为0；计算时逐元素进行。
步骤 4/6
目标：计算矩阵乘积AC
$AC = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot3+0+0 & 0 & 3\cdot1+0+0 \\ 0 & 4\cdot5+0+0 & 0 \\ 0+0+5\cdot3 & 0 & 0+0+5\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 3 \\ 0 & 20 & 0 \\ 15 & 0 & 25 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法：$(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$
提示：注意矩阵乘法的顺序，$A$ 左乘 $C$；由于 $A$ 是对角矩阵，计算可简化。
步骤 5/6
目标：计算矩阵F
$F = AC - B = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 3 \\ 0 & 20 & 0 \\ 15 & 0 & 25 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 2 \\ 0 & 18 & 0 \\ 12 & 0 & 24 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵减法：对应元素相减
提示：注意对应位置相减，不要错位。
步骤 6/6
目标：计算行列式det(F)
$F$ 是上三角矩阵（实际上是对角矩阵，因为非对角元均为0），其行列式等于对角线元素的乘积：$\det F = 8 \times 18 \times 24 = 3456$。
公式：上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积
提示：注意 $F$ 不是严格上三角，但非对角元为0，所以直接乘对角线即可。
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