电子科技大学 2025年高等代数第1题

对于 $2025$ 阶方阵 $A$ 和 $B$，由 Sylvester 不等式：$r(A)+r(B)-2025 \leq r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$。代入 $r(A)=r(B)=2020$，得 $2020+2020-2025=2015 \leq r(AB) \leq 2020$。因此 $r(AB)$ 的最小可能值为 $2015$。

需要构造 $A$ 和 $B$ 使得 $r(AB)=2015$。由秩的几何意义，$r(AB) = r(A) - \dim(\operatorname{Im}(B) \cap \ker(A))$。由于 $\dim\ker(A)=2025-2020=5$，$\dim\operatorname{Im}(B)=2020$，因此 $\dim(\operatorname{Im}(B) \cap \ker(A)) \leq 5$，从而 $r(AB) \geq 2020-5=2015$。当交的维数达到最大值 $5$ 时，$r(AB)=2015$。

取 $A = \begin{pmatrix} I_{2020} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $r(A)=2020$，$\ker(A)$ 由后 $5$ 个标准基向量张成。取 $B = \begin{pmatrix} I_{2020} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，其中 $Q$ 是可逆矩阵，使得 $\operatorname{Im}(B)$ 包含 $\ker(A)$ 的全部 $5$ 个基向量。例如，令 $Q$ 为置换矩阵，将 $B$ 的后 $5$ 列设为 $\ker(A)$ 的基。具体地，取 $B = \begin{pmatrix} 0_{5\times 2015} & I_5 & 0 \\ I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（分块为 $2025$ 阶），则 $r(B)=2020$，且 $\operatorname{Im}(B)$ 包含后 $5$ 个标准基向量，故 $\dim(\operatorname{Im}(B)\cap\ker(A))=5$，从而 $r(AB)=2020-5=2015$。

计算 $AB$：$A = \begin{pmatrix} I_{2020} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0_{5\times 2015} & I_5 & 0 \\ I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。则 $AB = \begin{pmatrix} I_{2020} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0_{5\times 2015} & I_5 & 0 \\ I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0_{5\times 2015} & I_5 & 0 \\ I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（注意前 $2020$ 行对应 $I_{2020}$ 作用，后 $5$ 行为零）。该矩阵的秩为 $2015$（因为前 $2015$ 列线性无关，后 $5$ 列中只有 $5$ 个非零列但被前 $2015$ 列线性表示？实际上，矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & I_5 & 0 \\ I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的秩为 $2015$，因为前 $2015$ 列线性无关，后 $5$ 列可由前 $2015$ 列线性表示？仔细看：前 $2015$ 列是 $\begin{pmatrix} 0 \\ I_{2015} \\ 0 \end{pmatrix}$，后 $5$ 列是 $\begin{pmatrix} I_5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，它们线性无关，所以秩为 $2020$？矛盾。重新构造：应使 $\operatorname{Im}(B)$ 包含 $\ker(A)$，但 $\ker(A)$ 是后 $5$ 个基向量，所以 $B$ 的后 $5$ 列应为这些基向量，而前 $2020$ 列应张成 $\operatorname{Im}(B)$ 的其余部分且与 $\ker(A)$ 无关。例如，取 $B = \begin{pmatrix} I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $r(B)=2020$，$\operatorname{Im}(B)$ 包含后 $5$ 个基向量（因为最后一列块有 $I_5$），但 $A$ 的零空间是后 $5$ 个基向量，所以交的维数为 $5$。计算 $AB = \begin{pmatrix} I_{2020} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为 $2015$（因为前 $2015$ 列线性无关，后 $5$ 列全为零？注意后 $5$ 列是 $\begin{pmatrix} 0 \\ I_5 \\ 0 \end{pmatrix}$，但 $A$ 乘后得到 $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$？实际上 $A$ 的后 $5$ 行全零，所以 $AB$ 的后 $5$ 行全零，而前 $2020$ 行中，第 $2016$ 到 $2020$ 行对应 $I_5$，但 $A$ 的前 $2020$ 行是 $I_{2020}$，所以 $AB$ 的第 $2016$ 到 $2020$ 行是 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & I_5 \end{pmatrix}$，但 $I_5$ 在最后 $5$ 列，所以 $AB$ 的秩为 $2015$（因为前 $2015$ 列线性无关，后 $5$ 列全为零？实际上后 $5$ 列中，第 $2016$ 到 $2020$ 行有 $I_5$，但前 $2015$ 行全零，所以后 $5$ 列与前面线性无关？检查：$AB$ 的列：前 $2015$ 列是 $e_1,\dots,e_{2015}$（前 $2015$ 个标准基向量），后 $5$ 列是 $e_{2016},\dots,e_{2020}$（第 $2016$ 到 $2020$ 个标准基向量），所以 $AB$ 的秩为 $2020$！错误。需要调整：让 $B$ 的列空间与 $\ker(A)$ 的交为 $5$ 维，但 $AB$ 的秩应为 $2015$，即 $A$ 将 $\operatorname{Im}(B)$ 映射到 $2015$ 维空间。实际上，$r(AB)=r(A)-\dim(\operatorname{Im}(B)\cap\ker(A))$，所以当交为 $5$ 维时，$r(AB)=2015$。但上述构造中，$\operatorname{Im}(B)$ 包含 $\ker(A)$，所以 $\dim(\operatorname{Im}(B)\cap\ker(A))=5$，但 $AB$ 的秩却是 $2020$？因为 $A$ 限制在 $\operatorname{Im}(B)$ 上，核是 $\operatorname{Im}(B)\cap\ker(A)$，像的维数等于 $\dim\operatorname{Im}(B)-\dim(\operatorname{Im}(B)\cap\ker(A))=2020-5=2015$，所以 $r(AB)=2015$。但上面计算 $AB$ 得到 $2020$，说明 $\operatorname{Im}(B)\cap\ker(A)$ 不是 $5$ 维？在 $B = \begin{pmatrix} I_{2015} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 中，$\operatorname{Im}(B)$ 由前 $2015$ 个基向量和后 $5$ 个基向量张成，而 $\ker(A)$ 是后 $5$ 个基向量，所以交是后 $5$ 个基向量，维数 $5$。但 $AB$ 的像是什么？$AB$ 的列是 $A$ 乘以 $B$ 的列：前 $2015$ 列是 $A e_i = e_i$（$i=1,\dots,2015$），后 $5$ 列是 $A e_{2021},\dots,A e_{2025}$，但 $e_{2021}$ 等是后 $5$ 个基向量，$A e_{2021}=0$，所以后 $5$ 列全零。因此 $AB$ 的列空间由前 $2015$ 个基向量张成，秩为 $2015$。之前误以为后 $5$ 列非零，实际上 $A$ 的后 $5$ 行全零，所以 $A$ 将后 $5$ 个基向量映为零。因此 $AB$ 的秩为 $2015$。正确。

由 Sylvester 不等式知 $r(AB) \geq 2015$，且构造的 $A,B$ 使得 $r(AB)=2015$，故最小值为 $2015$。