电子科技大学 2025年高等代数第0题

正定矩阵$A$满足：对任意非零实列向量$x$，有$x^TAx>0$。实对称矩阵$A$正定当且仅当它的所有特征值大于0。

若$A$正定，则$A$合同于单位矩阵，即存在可逆实矩阵$C$使得$C^TAC=I$。令$P=C^{-1}$，则$A=(C^{-1})^T C^{-1}=P^TP$。

若存在可逆实矩阵$P$使得$A=P^TP$，则对任意非零实列向量$x$，有$x^TAx=x^TP^TPx=(Px)^T(Px)=\|Px\|^2>0$，故$A$正定。

线性变换$\sigma$可对角化当且仅当存在$V$的一组基，使得$\sigma$在该基下的矩阵为对角矩阵。

若$\sigma$可对角化，则存在$V$的一组基使得$\sigma$的矩阵为对角阵，对角元为特征值。每个基向量属于某个特征子空间，故$V$等于所有特征子空间的和。又不同特征值对应的特征向量线性无关，故和是直和。

若$V=\bigoplus_{i=1}^k V_{\lambda_i}$，其中$V_{\lambda_i}$是特征值$\lambda_i$的特征子空间。取每个$V_{\lambda_i}$的基，合并得$V$的基，在此基下$\sigma$的矩阵为对角阵，故$\sigma$可对角化。

正交矩阵$A$满足$A^TA=I$，即$A^{-1}=A^T$。

设$A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$，其中$\alpha_j$是列向量。$A$正交当且仅当$A^TA=I$，即$(\alpha_i^T\alpha_j)=I$，故$\alpha_i^T\alpha_j=\delta_{ij}$，即列向量两两正交且长度为1，构成标准正交基。反之亦然。

欧氏空间$V$中，子空间$W$的正交补$W^\perp=\{x\in V|(x,y)=0,\forall y\in W\}$。

首先，$W\cap W^\perp=\{0\}$，因为若$x\in W\cap W^\perp$，则$(x,x)=0$，故$x=0$。其次，取$W$的一组标准正交基$\alpha_1,\dots,\alpha_m$，扩充为$V$的标准正交基$\alpha_1,\dots,\alpha_n$，则$\alpha_{m+1},\dots,\alpha_n$生成$W^\perp$，故$V=W+W^\perp$。因此$V=W\oplus W^\perp$。

半正定矩阵$A$满足：对任意实列向量$x$，有$x^TAx\ge0$。实对称矩阵$A$半正定当且仅当所有特征值非负。

若$A$半正定，则存在正交矩阵$Q$使得$Q^TAQ=\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中$\lambda_i\ge0$。令$\Lambda^{1/2}=\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n})$，则$A=Q\Lambda Q^T=Q\Lambda^{1/2}\Lambda^{1/2}Q^T=(\Lambda^{1/2}Q^T)^T(\Lambda^{1/2}Q^T)$。取$B=\Lambda^{1/2}Q^T$，则$A=B^TB$。

若存在实矩阵$B$使得$A=B^TB$，则对任意实列向量$x$，有$x^TAx=x^TB^TBx=(Bx)^T(Bx)=\|Bx\|^2\ge0$，故$A$半正定。