电子科技大学 2025年高等代数第10题
📝 题目
10．在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 关于标准内积构成的线性空间中，$\displaystyle \alpha=(1,2,1,1), \beta=(-2,0,0,1), V=\operatorname{span}(\alpha, \beta)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间．
（1）求 $V$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的正交补的一组基．
（2）求 $\displaystyle \gamma=(3,4-2,2)$ 在 $V$ 中的正交投影，即求 $\displaystyle \delta \in V$ ，使得 $\displaystyle \|\delta-\gamma\|$ 最小．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立正交补的线性方程组
设 $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V^{\perp}$，则 $x$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 正交，即内积为0：
$$\begin{cases} \langle x,\alpha\rangle = x_1+2x_2+x_3+x_4=0 \\ \langle x,\beta\rangle = -2x_1+0x_2+0x_3+x_4=0 \end{cases}$$
公式：内积定义：$\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4$
提示：注意内积是标准内积，即对应分量乘积之和。
步骤 2/7
目标：求解齐次线性方程组
由第二式得 $x_4=2x_1$，代入第一式：$x_1+2x_2+x_3+2x_1=0$，即 $3x_1+2x_2+x_3=0$。取自由变量 $x_1,x_2$，则 $x_3=-3x_1-2x_2$，$x_4=2x_1$。解向量为：
$$(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1(1,0,-3,2)+x_2(0,1,-2,0)$$
提示：自由变量的选取要保证解向量线性无关；注意 $x_4$ 由 $x_1$ 唯一确定。
步骤 3/7
目标：写出正交补的一组基
因此 $V^{\perp}$ 的一组基为 $\{(1,0,-3,2),(0,1,-2,0)\}$。
提示：基向量个数等于自由变量个数，即 $\dim V^{\perp}=2$。
步骤 4/7
目标：对 $V$ 的基向量进行施密特正交化
令 $u_1=\alpha=(1,2,1,1)$，$\|u_1\|=\sqrt{7}$。计算 $\langle\beta,u_1\rangle=-1$，则
$$u_2=\beta-\frac{\langle\beta,u_1\rangle}{\|u_1\|^2}u_1=(-2,0,0,1)+\frac{1}{7}(1,2,1,1)=\left(-\frac{13}{7},\frac{2}{7},\frac{1}{7},\frac{8}{7}\right)$$
公式：施密特正交化：$u_2=\beta-\frac{\langle\beta,u_1\rangle}{\|u_1\|^2}u_1$
提示：注意投影系数的符号；计算内积时小心分数运算。
步骤 5/7
目标：计算标准正交基
计算 $\|u_2\|^2=\frac{34}{7}$，所以 $\|u_2\|=\sqrt{\frac{34}{7}}$。则标准正交基为：
$$e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt{7}}(1,2,1,1),\quad e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{1}{\sqrt{34/7}}\left(-\frac{13}{7},\frac{2}{7},\frac{1}{7},\frac{8}{7}\right)$$
提示：标准正交基需要单位化，注意分母有理化。
步骤 6/7
目标：计算投影系数
计算 $\gamma=(3,4,-2,2)$ 在 $e_1,e_2$ 上的投影系数：
$$\langle\gamma,e_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{7}}(3+8-2+2)=\frac{11}{\sqrt{7}}$$
$$\langle\gamma,u_2\rangle = -\frac{39}{7}+\frac{8}{7}-\frac{2}{7}+\frac{16}{7}=-\frac{17}{7}$$
$$\langle\gamma,e_2\rangle = \frac{\langle\gamma,u_2\rangle}{\|u_2\|} = \frac{-17/7}{\sqrt{34/7}} = -\frac{17}{\sqrt{238}}$$
公式：投影系数：$\langle\gamma,e_i\rangle$
提示：计算内积时注意符号和分数运算。
步骤 7/7
目标：计算正交投影
正交投影为 $\delta = \langle\gamma,e_1\rangle e_1 + \langle\gamma,e_2\rangle e_2$。利用 $e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}$，$e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}$，得
$$\delta = \frac{11}{\sqrt{7}}\cdot\frac{u_1}{\sqrt{7}} - \frac{17}{\sqrt{238}}\cdot\frac{u_2}{\sqrt{34/7}} = \frac{11}{7}u_1 - \frac{17}{\|u_2\|^2}u_2$$
由于 $\|u_2\|^2=\frac{34}{7}$，所以 $\frac{17}{\|u_2\|^2}=17\cdot\frac{7}{34}=\frac{7}{2}$。代入得：
$$\delta = \frac{11}{7}(1,2,1,1) - \frac{7}{2}\left(-\frac{13}{7},\frac{2}{7},\frac{1}{7},\frac{8}{7}\right) = \left(\frac{113}{14},\frac{15}{7},\frac{15}{14},-\frac{17}{7}\right)$$
公式：投影公式：$\delta = \sum_{i=1}^k \langle\gamma,e_i\rangle e_i$
提示：注意化简时通分；最终结果可以写成分数形式。
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