电子科技大学 2025年高等代数第13题
📝 题目
13．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，证明：线性方程组 $\displaystyle (A-\lambda I) X=\alpha$ 无解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\alpha \in \mathbb{R}^n$ 是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，即 $A\alpha = \lambda \alpha$，且 $\alpha \neq 0$。
公式：$A\alpha = \lambda \alpha$
提示：注意特征向量非零。
步骤 2/5
目标：假设方程组有解
考虑线性方程组 $(A-\lambda I)X = \alpha$。假设该方程组有解，即存在向量 $\beta$ 使得 $(A-\lambda I)\beta = \alpha$。
公式：$(A-\lambda I)\beta = \alpha$
提示：反证法，假设存在解。
步骤 3/5
目标：利用对称性化简内积
计算 $\alpha^T \alpha = \alpha^T (A-\lambda I)\beta$。由于 $A$ 是实对称矩阵，有 $A^T = A$，所以 $\alpha^T A = (A\alpha)^T = (\lambda \alpha)^T = \lambda \alpha^T$。
公式：$\alpha^T A = \lambda \alpha^T$
提示：注意对称矩阵的性质：$\alpha^T A = (A\alpha)^T$。
步骤 4/5
目标：推导矛盾
于是 $\alpha^T (A-\lambda I) = \alpha^T A - \lambda \alpha^T = \lambda \alpha^T - \lambda \alpha^T = 0$。因此 $\alpha^T \alpha = 0 \cdot \beta = 0$，即 $\|\alpha\|^2 = 0$，推出 $\alpha = 0$，与 $\alpha \neq 0$ 矛盾。
公式：$\alpha^T (A-\lambda I) = 0$
提示：内积为零推出向量为零，注意 $\alpha^T \alpha = \|\alpha\|^2$。
步骤 5/5
目标：得出结论
假设不成立，故线性方程组 $(A-\lambda I)X = \alpha$ 无解。
提示：反证法结束。
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