电子科技大学 2025年高等代数第12题
📝 题目
12．证明多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1$ 在有理数域上不可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：检查有理根
由有理根定理，若 $f(x)=x^4-10x^2+1$ 有有理根 $\frac{p}{q}$（既约），则 $p\mid 1$，$q\mid 1$，故可能的有理根为 $\pm1$。计算 $f(1)=1-10+1=-8\neq0$，$f(-1)=1-10+1=-8\neq0$，因此 $f(x)$ 无一次有理因式。
公式：有理根定理
提示：注意有理根定理要求 $p$ 整除常数项，$q$ 整除首项系数，且 $p,q$ 互质。
步骤 2/7
目标：假设可分解为两个二次因式
由于 $f(x)$ 是首一多项式且无一次有理因式，若可约，则必可分解为两个首一二次整系数多项式的乘积。设 $f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$，其中 $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$。
提示：注意整系数多项式分解时，因式可设为首一，因为 $f(x)$ 首一。
步骤 3/7
目标：展开并比较系数
展开得 $x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd$。与 $f(x)=x^4-10x^2+1$ 比较系数得方程组：
\begin{cases}
a+c=0\\
ac+b+d=-10\\
ad+bc=0\\
bd=1
\end{cases}
提示：比较系数时注意 $x^3$ 和 $x$ 项系数为0。
步骤 4/7
目标：化简方程组
由 $a+c=0$ 得 $c=-a$。代入第三个方程 $ad+bc=ad+b(-a)=a(d-b)=0$，故 $a=0$ 或 $d=b$。
提示：注意 $a(d-b)=0$ 有两种情况，需分别讨论。
步骤 5/7
目标：情况1：a=0
若 $a=0$，则 $c=0$，方程组化为 $\begin{cases} b+d=-10 \\ bd=1 \end{cases}$。整数 $b,d$ 满足 $bd=1$，故 $b=d=1$ 或 $b=d=-1$，此时 $b+d=2$ 或 $-2$，与 $b+d=-10$ 矛盾。
提示：注意 $bd=1$ 的整数解只有 $\pm1$。
步骤 6/7
目标：情况2：d=b
若 $d=b$，则 $bd=b^2=1$，故 $b=\pm1$。代入第二个方程 $ac+2b=-10$，即 $-a^2+2b=-10$。
- 若 $b=1$，则 $-a^2+2=-10\Rightarrow a^2=12$，$a$ 非整数。
- 若 $b=-1$，则 $-a^2-2=-10\Rightarrow a^2=8$，$a$ 非整数。
故无整数解。
提示：注意 $ac=-a^2$，因为 $c=-a$。
步骤 7/7
目标：结论
两种情况均无整数解，故 $f(x)$ 不能分解为两个整系数二次因式的乘积，又无一次有理因式，因此 $f(x)$ 在有理数域上不可约。
提示：注意不可约的证明需排除所有可能的分解形式。
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