电子科技大学 2025年高等代数第9题
📝 题目
9．若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是复数域上 3 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足
$$
\mathscr{A} \alpha_{1}=3 \alpha_{1}-2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{2}=\alpha_{1}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{3}=-\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}
$$
（1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $A$ ，以及 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 。
（2）求 $V$ 的另一组基，使得该基下 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵恰为 $J$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求线性变换在给定基下的矩阵A
由定义，$\mathscr{A}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)A$，其中$A$的第$j$列为$\mathscr{A}\alpha_j$在基下的坐标。因此
$$A=\begin{pmatrix}3 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 3\end{pmatrix}.$$
公式：$\mathscr{A}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)A$
提示：注意矩阵$A$的列向量是$\mathscr{A}\alpha_j$的坐标，不要写成行向量。
步骤 2/7
目标：计算特征多项式并求特征值
计算$\det(\lambda I-A)$:
$$\begin{vmatrix}\lambda-3 & -1 & 1 \\ 2 & \lambda & -2 \\ 1 & 1 & \lambda-3\end{vmatrix}.$$
展开得
$$(\lambda-3)[\lambda(\lambda-3)+2]+1[2(\lambda-3)+2]+1[2-\lambda]=(\lambda-2)^3.$$
故特征值为$\lambda=2$（三重根）。
公式：$\det(\lambda I-A)=0$
提示：行列式计算时注意符号和展开顺序，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：求特征向量和几何重数
解$(2I-A)x=0$:
$$2I-A=\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$
基础解系为$\xi_1=(-1,1,0)^T,\xi_2=(1,0,1)^T$，几何重数为2。
公式：$(\lambda I-A)x=0$
提示：几何重数等于线性无关特征向量的个数，这里为2，小于代数重数3，故Jordan标准形有Jordan块。
步骤 4/7
目标：求广义特征向量和Jordan链
由于$(2I-A)^2=0$（因为$2I-A$秩为1），任意向量都是广义特征向量。取$\xi_3=(0,0,1)^T$，计算$(2I-A)\xi_3=(1,-2,-1)^T$，该向量是特征向量。构造Jordan链：取$\eta_1=(1,-2,-1)^T$（特征向量），$\eta_2=\xi_3=(0,0,1)^T$满足$(2I-A)\eta_2=\eta_1$，再取$\eta_3=(-1,1,0)^T$（另一个特征向量）。
公式：$(\lambda I-A)^k x=0$
提示：注意Jordan链中相邻向量满足$(\lambda I-A)\eta_{i+1}=\eta_i$，且链的起点是特征向量。
步骤 5/7
目标：写出Jordan标准形J
由Jordan链，对应一个2阶Jordan块和一个1阶Jordan块，故
$$J=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.$$
公式：Jordan标准形结构
提示：Jordan块的顺序可以调换，但通常按阶数从大到小排列。
步骤 6/7
目标：求过渡矩阵P
设新基$\beta_1,\beta_2,\beta_3$满足$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)P$，且$P^{-1}AP=J$。取$P$的列向量为Jordan链中向量在旧基下的坐标：
$$P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}.$$
公式：$P^{-1}AP=J$
提示：过渡矩阵$P$的列向量是新基在旧基下的坐标，注意顺序与Jordan链一致。
步骤 7/7
目标：写出新基的表达式
由$P$得新基：
$$\beta_1=\alpha_1-2\alpha_2-\alpha_3, \quad \beta_2=\alpha_3, \quad \beta_3=-\alpha_1+\alpha_2.$$
公式：$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)P$
提示：注意新基的线性组合系数来自$P$的列向量。
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