电子科技大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}-a x+3$ 的 3 个复根，$a$ 为整数．
（1）求行列式
$$
\left|\begin{array}{lll}
x_{1} & x_{2} & x_{3} \\
x_{2} & x_{3} & x_{1} \\
x_{3} & x_{1} & x_{2}
\end{array}\right|
$$
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域可约，求 $a$ ．
（3）若 $\displaystyle f(x)$ 有重根，求 $a$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用韦达定理化简行列式
由韦达定理，对于多项式 $f(x)=x^3-ax+3$，其三个根 $x_1, x_2, x_3$ 满足：
\[ x_1+x_2+x_3=0,\quad x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=-a,\quad x_1x_2x_3=-3. \]
行列式 $D = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_3 & x_1 \\ x_3 & x_1 & x_2 \end{vmatrix}$。将第2、3行加到第1行，得
\[ D = \begin{vmatrix} x_1+x_2+x_3 & x_2+x_3+x_1 & x_3+x_1+x_2 \\ x_2 & x_3 & x_1 \\ x_3 & x_1 & x_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ x_2 & x_3 & x_1 \\ x_3 & x_1 & x_2 \end{vmatrix}=0. \]
故行列式为 $0$。
公式：韦达定理：$x_1+x_2+x_3=0$
提示：注意行和为零时行列式为零，但这里是通过行变换得到全零行，不要直接认为行和为零。
步骤 2/5
目标：确定有理根的可能取值
多项式 $f(x)=x^3-ax+3$ 在有理数域可约，则必有一个有理根。有理根只能是常数项3的因子：$\pm1,\pm3$。分别代入 $f(x)=0$ 求解 $a$。
公式：有理根定理：有理根 $p/q$ 满足 $p|3, q|1$
提示：注意有理根可能为负，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：计算每个可能有理根对应的a值
代入 $x=1$：$f(1)=1-a+3=4-a=0 \Rightarrow a=4$，此时 $f(x)=x^3-4x+3=(x-1)(x^2+x-3)$，可约。
代入 $x=-1$：$f(-1)=-1+a+3=a+2=0 \Rightarrow a=-2$，$f(x)=x^3+2x+3=(x+1)(x^2-x+3)$，可约。
代入 $x=3$：$f(3)=27-3a+3=30-3a=0 \Rightarrow a=10$，$f(x)=x^3-10x+3=(x-3)(x^2+3x-1)$，可约。
代入 $x=-3$：$f(-3)=-27+3a+3=3a-24=0 \Rightarrow a=8$，$f(x)=x^3-8x+3=(x+3)(x^2-3x+1)$，可约。
故 $a$ 的可能取值为 $4,-2,10,8$。
提示：验证每个a是否确实使多项式可约，即分解后二次因子是否还有有理根？这里二次因子判别式非完全平方，但一次因子已保证可约。
步骤 4/5
目标：利用判别式判断重根条件
三次方程 $x^3+px+q=0$ 有重根的充要条件是判别式 $\Delta = -4p^3-27q^2=0$。这里 $p=-a$，$q=3$，代入得
\[ \Delta = -4(-a)^3-27\cdot 9 = 4a^3-243=0 \Rightarrow a^3 = \frac{243}{4}. \]
由于 $a$ 为整数，$a^3$ 应为整数，但 $243/4$ 不是整数，故不存在整数 $a$ 使 $f(x)$ 有重根。
公式：判别式 $\Delta = -4p^3-27q^2$
提示：注意三次方程标准形式为 $x^3+px+q=0$，这里 $x^3-ax+3$ 中 $p=-a$，$q=3$。
步骤 5/5
目标：验证重根条件无整数解
由 $a=3r^2$ 和 $r^3=3/2$ 得 $r$ 无理，$a$ 非整数。或者由判别式 $4a^3=243$，$a$ 不是整数。因此不存在整数 $a$ 使 $f(x)$ 有重根。
提示：注意题目要求 $a$ 为整数，所以无解。
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