电子科技大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．设复方阵 $A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{2},(\lambda-1)^{2}, \lambda+2,(\lambda+2)^{2}$ ，则 $A$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解最小多项式的定义
最小多项式是方阵$A$的零化多项式中次数最低的首一多项式，它由$A$的所有不同特征值对应的最大Jordan块的次数决定。在初等因子组中，每个一次因式的最高次幂对应最小多项式中的因子。
提示：注意最小多项式是首一多项式，且必须包含所有不同特征值。
步骤 2/6
目标：列出所有初等因子
给定的初等因子组为：$\lambda, \lambda^{2}, \lambda^{2}, (\lambda-1)^{2}, \lambda+2, (\lambda+2)^{2}$。注意$\lambda$即$\lambda-0$，$\lambda+2$即$\lambda-(-2)$。
提示：将每个初等因子写成$\lambda-\lambda_i$的形式，以便识别特征值。
步骤 3/6
目标：分组并找出每个特征值的最高次幂
按特征值分组：
- 特征值0：初等因子有$\lambda$（一次）和$\lambda^2$（二次），最高次幂为$\lambda^2$。
- 特征值1：初等因子有$(\lambda-1)^2$，最高次幂为$(\lambda-1)^2$。
- 特征值-2：初等因子有$\lambda+2$（一次）和$(\lambda+2)^2$（二次），最高次幂为$(\lambda+2)^2$。
提示：注意特征值0的初等因子$\lambda$和$\lambda^2$，最高次是$\lambda^2$，而不是$\lambda$。
步骤 4/6
目标：写出最小多项式
最小多项式是所有不同特征值对应的最高次幂因子的乘积：$\lambda^2 (\lambda-1)^2 (\lambda+2)^2$。
公式：最小多项式 $m(\lambda) = \prod_{i} (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$，其中$m_i$是特征值$\lambda_i$对应的最大Jordan块阶数。
提示：确保每个特征值只取一次，且指数为最大次数。
步骤 5/6
目标：验证最小多项式的次数
最小多项式的次数为$2+2+2=6$，而矩阵$A$的阶数等于所有初等因子次数之和：$1+2+2+2+1+2=10$，所以最小多项式次数小于矩阵阶数，符合一般情况。
提示：最小多项式次数不超过矩阵阶数，且整除特征多项式。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$A$的最小多项式为$\lambda^{2}(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)^{2}$。
提示：答案应写成乘积形式，注意因式分解的规范性。
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