电子科技大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5．设正交矩阵 $\displaystyle P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=P Y$ 下化为标准型 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，令 $\displaystyle Q=\left(-\alpha_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=Q Y$ 下化为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与已知条件
已知正交矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ 使得二次型 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 在正交变换 $X=PY$ 下化为标准型 $3y_1^2+2y_2^2-y_3^2$。注意标准型中缺少 $y_4^2$ 项，说明对应特征值为0。因此，$f$ 的矩阵 $A$ 满足 $P^TAP=\operatorname{diag}(3,2,-1,0)$，即 $A$ 的特征值为 $3,2,-1,0$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$。
公式：P^TAP=\operatorname{diag}(3,2,-1,0)
提示：注意正交矩阵的列向量是标准正交的特征向量，且标准型中缺失的平方项对应特征值0。
步骤 2/5
目标：明确新变换矩阵Q的含义
令 $Q=(-\alpha_3,\alpha_1,\alpha_2)$，这是一个 $4\times 3$ 矩阵，其列向量是 $\mathbb{R}^4$ 中的三个正交单位向量。线性替换 $X=QY$ 中 $Y=(y_1,y_2,y_3)^T$，$X$ 是四维向量。我们需要计算 $f$ 在此变换下的标准型，即求 $Q^TAQ$。
公式：X=QY, \quad Q=(-\alpha_3,\alpha_1,\alpha_2)
提示：注意Q的列顺序：第一列是 $-\alpha_3$，第二列是 $\alpha_1$，第三列是 $\alpha_2$。
步骤 3/5
目标：利用特征值条件计算Q^TAQ的元素
由于 $A\alpha_1=3\alpha_1$, $A\alpha_2=2\alpha_2$, $A\alpha_3=-\alpha_3$, $A\alpha_4=0$，且 $\alpha_i$ 标准正交，计算 $Q^TAQ$ 的每个元素：
- $(1,1)$: $(-\alpha_3)^T A (-\alpha_3)=\alpha_3^T A \alpha_3 = \alpha_3^T(-\alpha_3) = -1$（因为 $\alpha_3^T\alpha_3=1$）
- $(1,2)$: $(-\alpha_3)^T A \alpha_1 = -\alpha_3^T (3\alpha_1)=0$
- $(1,3)$: $(-\alpha_3)^T A \alpha_2 = -\alpha_3^T (2\alpha_2)=0$
- $(2,1)$: $\alpha_1^T A (-\alpha_3) = -\alpha_1^T (-\alpha_3)=0$
- $(2,2)$: $\alpha_1^T A \alpha_1 = \alpha_1^T (3\alpha_1)=3$
- $(2,3)$: $\alpha_1^T A \alpha_2 = \alpha_1^T (2\alpha_2)=0$
- $(3,1)$: $\alpha_2^T A (-\alpha_3) = -\alpha_2^T (-\alpha_3)=0$
- $(3,2)$: $\alpha_2^T A \alpha_1 = \alpha_2^T (3\alpha_1)=0$
- $(3,3)$: $\alpha_2^T A \alpha_2 = \alpha_2^T (2\alpha_2)=2$
公式：A\alpha_i = \lambda_i \alpha_i, \quad \alpha_i^T\alpha_j = \delta_{ij}
提示：注意正交性：不同特征向量的内积为0，相同特征向量的内积为1。
步骤 4/5
目标：写出Q^TAQ的矩阵形式
由上述计算，$Q^TAQ$ 是对角矩阵：
$$Q^TAQ = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \operatorname{diag}(-1,3,2)$$
公式：Q^TAQ = \operatorname{diag}(-1,3,2)
提示：注意对角元顺序对应Q的列顺序：第一列对应-1，第二列对应3，第三列对应2。
步骤 5/5
目标：得到新二次型的标准型
因此，在变换 $X=QY$ 下，二次型 $f(X)=X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y = -y_1^2+3y_2^2+2y_3^2$。
公式：f = -y_1^2+3y_2^2+2y_3^2
提示：注意变量顺序：$y_1$ 对应 $Q$ 的第一列 $-\alpha_3$，$y_2$ 对应第二列 $\alpha_1$，$y_3$ 对应第三列 $\alpha_2$。
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