电子科技大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4．多项式 $\displaystyle x^{2025}+1$ 除以 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 的余式 $\displaystyle r(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定余式形式
由于除式 $(x-1)^2$ 是二次多项式，余式 $r(x)$ 的次数小于2，故可设 $r(x)=ax+b$。则存在多项式 $q(x)$ 使得
$$f(x)=x^{2025}+1=(x-1)^2 q(x)+ax+b.$$
提示：注意余式次数必须小于除式次数，这里除式是二次，所以余式是一次多项式。
步骤 2/6
目标：代入x=1求常数关系
令 $x=1$，代入等式得
$$f(1)=1^{2025}+1=2 = (1-1)^2 q(1)+a\cdot1+b = a+b.$$
因此得到第一个方程：$a+b=2$。
提示：代入x=1时，$(x-1)^2$项为零，简化计算。注意不要漏掉常数项。
步骤 3/6
目标：对等式两边求导
对等式 $f(x)=(x-1)^2 q(x)+ax+b$ 两边关于 $x$ 求导，得
$$f'(x)=2025x^{2024}=2(x-1)q(x)+(x-1)^2 q'(x)+a.$$
公式：导数公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$，乘积法则：$(uv)'=u'v+uv'$
提示：注意 $(x-1)^2 q(x)$ 的导数要用乘积法则，不要忘记 $(x-1)^2$ 的导数 $2(x-1)$。
步骤 4/6
目标：代入x=1求a
令 $x=1$ 代入导数等式，得
$$f'(1)=2025\cdot1^{2024}=2025 = 2(1-1)q(1)+(1-1)^2 q'(1)+a = a.$$
因此 $a=2025$。
提示：代入x=1时，含有 $(x-1)$ 的项均为零，直接得到a的值。注意 $f'(1)$ 的计算要准确。
步骤 5/6
目标：求解b
将 $a=2025$ 代入 $a+b=2$，得
$$2025+b=2 \Rightarrow b=2-2025=-2023.$$
提示：注意符号，不要将减法算错。
步骤 6/6
目标：写出余式
因此余式 $r(x)=ax+b=2025x-2023$。
提示：最终结果要写成一次多项式形式。
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