苏州大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．（20 分）解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E_{n}$ ，证明：一定存在可逆矩阵 $C$ ，使得
$$
C^{-1} A C=\left(\begin{array}{cc}
E_{s} & O \\
O & -E_{n-s}
\end{array}\right)
$$
（2）$n$ 为奇数，如果存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，使得对于任意实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，均有
$$
\left(x_{1} A_{1}+x_{2} A_{2}+\cdots+x_{k} A_{k}\right)^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}\right) E_{n}
$$
成立，证明：$\displaystyle k=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析矩阵A的特征值
由 $A^2 = E_n$，可知 $A$ 的特征值满足 $\lambda^2 = 1$，故特征值只能是 $1$ 或 $-1$。设特征值 $1$ 的代数重数为 $s$，特征值 $-1$ 的代数重数为 $n-s$。
公式：$A^2 = E_n$
提示：注意特征值可能重复，但这里每个特征值的代数重数等于几何重数，因为最小多项式无重根。
步骤 2/8
目标：证明A可对角化
矩阵 $A$ 的最小多项式为 $x^2-1$，无重根，故 $A$ 可对角化。因此存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(1,\dots,1,-1,\dots,-1)$，其中 $1$ 出现 $s$ 次，$-1$ 出现 $n-s$ 次。
公式：最小多项式 $x^2-1$
提示：可对角化的判定：最小多项式无重根。
步骤 3/8
目标：整理对角化形式
适当排列基的顺序，可将对角矩阵写为分块形式：$C^{-1}AC = \begin{pmatrix} E_s & O \\ O & -E_{n-s} \end{pmatrix}$，其中 $C$ 为可逆矩阵。
提示：注意分块矩阵的写法，左上角是 $s$ 阶单位阵，右下角是 $n-s$ 阶负单位阵。
步骤 4/8
目标：推导每个A_i是对合矩阵
在条件中取 $x_i=1$，其余为 $0$，得 $A_i^2 = E_n$，故每个 $A_i$ 是对合矩阵。
公式：$A_i^2 = E_n$
提示：注意对合矩阵的定义：平方等于单位阵。
步骤 5/8
目标：推导A_i与A_j反对易
取 $x_i = x_j = 1$，其余为 $0$，得 $(A_i+A_j)^2 = 2E_n$。展开得 $A_i^2 + A_j^2 + A_iA_j + A_jA_i = 2E_n$，代入 $A_i^2 = A_j^2 = E_n$，得 $A_iA_j + A_jA_i = 0$，即 $A_i$ 与 $A_j$ 反对易。
公式：$A_iA_j + A_jA_i = 0$
提示：注意矩阵乘法不交换，展开时顺序不能错。
步骤 6/8
目标：利用A_1的对角化形式分析
由(1)，存在可逆矩阵 $C$ 使 $C^{-1}A_1C = \begin{pmatrix} E_s & O \\ O & -E_{n-s} \end{pmatrix}$。由于 $n$ 为奇数，$s$ 与 $n-s$ 一奇一偶，故 $\operatorname{tr}(A_1) = s - (n-s) = 2s - n$ 为奇数。
公式：$\operatorname{tr}(A_1) = 2s - n$
提示：迹是特征值之和，这里特征值为 $s$ 个 $1$ 和 $n-s$ 个 $-1$。
步骤 7/8
目标：推导B_i的分块形式
对 $i \geq 2$，令 $B_i = C^{-1}A_iC$，则 $B_i^2 = E_n$ 且与 $\begin{pmatrix} E_s & O \\ O & -E_{n-s} \end{pmatrix}$ 反对易。将 $B_i$ 分块为 $\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，代入反对易关系得 $2B_{11}=0$，$-2B_{22}=0$，故 $B_{11}=0$，$B_{22}=0$，即 $B_i = \begin{pmatrix} 0 & B_{12} \\ B_{21} & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$\begin{pmatrix} E_s & O \\ O & -E_{n-s} \end{pmatrix} B_i + B_i \begin{pmatrix} E_s & O \\ O & -E_{n-s} \end{pmatrix} = 0$
提示：分块矩阵乘法要仔细，注意符号。
步骤 8/8
目标：利用B_i^2=E_n导出矛盾
由 $B_i^2 = E_n$ 得 $\begin{pmatrix} B_{12}B_{21} & 0 \\ 0 & B_{21}B_{12} \end{pmatrix} = E_n$，故 $B_{12}B_{21} = E_s$，$B_{21}B_{12} = E_{n-s}$。这意味着 $B_{12}$ 是 $s \times (n-s)$ 矩阵且左可逆，$B_{21}$ 是 $(n-s) \times s$ 矩阵且右可逆，从而 $s \leq n-s$ 且 $n-s \leq s$，故 $s = n-s$，即 $n=2s$，与 $n$ 为奇数矛盾。因此不存在 $i \geq 2$，即 $k=1$。
公式：$B_{12}B_{21}=E_s$, $B_{21}B_{12}=E_{n-s}$
提示：左可逆推出列数≥行数，右可逆推出行数≥列数，从而相等。
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