苏州大学 2026年高等代数第5题

已知线性变换 $\sigma$ 在基 $e_1, e_2, \dots, e_n$ 下的矩阵为 Jordan 块 $J_n(\mu)$，即 $$ J_n(\mu)=\begin{pmatrix} \mu & & & \\ 1 & \mu & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \mu \end{pmatrix}. $$ 因此，$\sigma$ 在基上的作用为： $$ \sigma(e_1)=\mu e_1, \quad \sigma(e_i)=e_{i-1}+\mu e_i \ (i\ge 2). $$

设 $W$ 是任意非零 $\sigma$-不变子空间。取非零向量 $w\in W$，将 $w$ 表示为基的线性组合： $$ w = a_1 e_1 + \cdots + a_k e_k, \quad a_k \neq 0, $$ 其中 $k$ 是使得系数非零的最大下标。 若 $k < n$，考虑 $\sigma(w)-\mu w$： $$ \sigma(w)-\mu w = a_2 e_1 + \cdots + a_k e_{k-1}, $$ 且 $a_k \neq 0$，故该向量非零且属于 $W$，且其最大下标为 $k-1$。重复此过程，每次降低最大下标，最终得到 $e_1 \in W$。 由 $e_1\in W$ 及 $\sigma(e_1)=\mu e_1$，再利用 $\sigma(e_i)=e_{i-1}+\mu e_i$ 递推可得 $e_2,\dots,e_n\in W$，特别地 $e_n\in W$。 若 $k=n$，则 $w$ 中 $e_n$ 的系数非零，但 $W$ 是子空间，不一定直接有 $e_n\in W$。然而，通过类似操作：考虑 $\sigma(w)-\mu w$，其最大下标为 $n-1$，重复可得 $e_1\in W$，进而得 $e_n\in W$。 因此，任何非零 $\sigma$-不变子空间必包含 $e_n$。

由（1）知，任何非零 $\sigma$-不变子空间必包含 $e_n$。考虑子空间链： $$ 0 \subset \langle e_n \rangle \subset \langle e_{n-1}, e_n \rangle \subset \cdots \subset \langle e_1, \dots, e_n \rangle = V. $$ 验证每个 $\langle e_i, \dots, e_n \rangle$ 是 $\sigma$-不变的： 对于 $i \ge 2$，$\sigma(e_i)=e_{i-1}+\mu e_i \in \langle e_{i-1}, \dots, e_n \rangle$； 对于 $i=1$，$\sigma(e_1)=\mu e_1 \in \langle e_1, \dots, e_n \rangle$。 因此这些子空间都是 $\sigma$-不变的。

设 $W$ 是任一非零 $\sigma$-不变子空间。由（1）知 $e_n \in W$。令 $m$ 是使得 $e_m \in W$ 的最小下标，则 $W$ 包含 $\langle e_m, \dots, e_n \rangle$。 若 $W$ 还包含其他向量，设 $w = \sum_{i=1}^{m-1} a_i e_i \in W$ 且 $w \neq 0$。取 $w$ 中最大下标 $j \le m-1$，则通过类似（1）的降次操作可得 $e_1 \in W$，从而 $W = V$。 因此，所有 $\sigma$-不变子空间为： $$ 0, \quad \langle e_k, \dots, e_n \rangle \ (k=1,\dots,n). $$ 共 $n+1$ 个。