陕西师范大学 2022年高等代数第1题
📝 题目
1．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是一个整系数多项式，而 $\displaystyle \frac{r}{s}$ 是它的一个有理根，其中 $\displaystyle r, s$ 互素，证明：$\displaystyle s\left|a_{n}, r\right| a_{0}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定有理根并代入多项式
设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 是整系数多项式，$\frac{r}{s}$ 是它的一个有理根，其中 $r, s$ 互素，即 $(r, s) = 1$。则 $f\left(\frac{r}{s}\right) = 0$，即
\[ a_n \left(\frac{r}{s}\right)^n + a_{n-1} \left(\frac{r}{s}\right)^{n-1} + \cdots + a_1 \left(\frac{r}{s}\right) + a_0 = 0. \]
公式：f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0
提示：注意有理根的定义：$\frac{r}{s}$ 是根意味着代入后多项式值为0，且 $r$ 与 $s$ 互素。
步骤 2/7
目标：消去分母得到整系数方程
将上述等式两边乘以 $s^n$，得到
\[ a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} s + \cdots + a_1 r s^{n-1} + a_0 s^n = 0. \]
公式：两边乘以 $s^n$
提示：乘以 $s^n$ 后每一项都是整数，注意 $s^n$ 与各项的指数匹配。
步骤 3/7
目标：提取公因子证明 $s \mid a_n r^n$
将上式移项，把 $a_n r^n$ 单独放在一边：
\[ a_n r^n = -s (a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_1 r s^{n-2} + a_0 s^{n-1}). \]
因此 $s$ 整除 $a_n r^n$，即 $s \mid a_n r^n$。
公式：a_n r^n = -s (a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_1 r s^{n-2} + a_0 s^{n-1})
提示：注意括号内每一项都含有因子 $s$，但提取后括号内是整数。
步骤 4/7
目标：利用互素性质得到 $s \mid a_n$
由于 $(r, s) = 1$，所以 $(s, r^n) = 1$。由 $s \mid a_n r^n$ 且 $s$ 与 $r^n$ 互素，可得 $s \mid a_n$。
公式：若 $s \mid a_n r^n$ 且 $(s, r^n)=1$，则 $s \mid a_n$
提示：互素性质是关键：$s$ 与 $r$ 互素，则与 $r^n$ 也互素。
步骤 5/7
目标：类似地证明 $r \mid a_0 s^n$
将原方程改写为关于 $a_0 s^n$ 的形式：
\[ a_0 s^n = -r (a_n r^{n-1} + a_{n-1} r^{n-2} s + \cdots + a_1 s^{n-1}). \]
因此 $r$ 整除 $a_0 s^n$，即 $r \mid a_0 s^n$。
公式：a_0 s^n = -r (a_n r^{n-1} + a_{n-1} r^{n-2} s + \cdots + a_1 s^{n-1})
提示：注意移项时符号不影响整除性。
步骤 6/7
目标：利用互素性质得到 $r \mid a_0$
由于 $(r, s) = 1$，所以 $(r, s^n) = 1$。由 $r \mid a_0 s^n$ 且 $r$ 与 $s^n$ 互素，可得 $r \mid a_0$。
公式：若 $r \mid a_0 s^n$ 且 $(r, s^n)=1$，则 $r \mid a_0$
提示：与上一步类似，互素性质保证整除性传递。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$s \mid a_n$ 且 $r \mid a_0$，即 $s$ 整除 $a_n$，$r$ 整除 $a_0$。证毕。
提示：结论是：有理根的分子整除常数项，分母整除最高次项系数。
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