首都师范大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵可以对角化，证明：对 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的任意不变子空间 $\displaystyle W, \mathscr{A}$ 限制在 $W$ 上的变换 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 的矩阵也可以对角化。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件与目标
已知 $\mathscr{A}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathscr{A}$ 的矩阵可对角化。要证明：对任意 $\mathscr{A}$-不变子空间 $W$，限制变换 $\mathscr{A}|_W$ 的矩阵也可对角化。
提示：注意区分“矩阵可对角化”与“线性变换可对角化”的等价性。
步骤 2/7
目标：利用对角化条件分解空间
由于 $\mathscr{A}$ 可对角化，存在 $V$ 的一组基由 $\mathscr{A}$ 的特征向量组成。设 $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ 为 $\mathscr{A}$ 的所有互异特征值，则 $V$ 可分解为特征子空间的直和：$V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}$，其中 $V_{\lambda_i} = \{v \in V \mid \mathscr{A}v = \lambda_i v\}$。
公式：$V = \bigoplus_{i=1}^k V_{\lambda_i}$
提示：特征子空间直和分解成立的前提是 $\mathscr{A}$ 可对角化。
步骤 3/7
目标：分析不变子空间中的向量分解
设 $W$ 是 $\mathscr{A}$-不变子空间，即 $\mathscr{A}(W) \subseteq W$。任取 $w \in W$，由直和分解可唯一表示为 $w = v_1 + \cdots + v_k$，其中 $v_i \in V_{\lambda_i}$。
公式：$w = \sum_{i=1}^k v_i$
提示：唯一性由直和保证。
步骤 4/7
目标：证明每个分量属于 $W$
对任意正整数 $m$，有 $\mathscr{A}^m w = \lambda_1^m v_1 + \cdots + \lambda_k^m v_k \in W$。取 $m = 0,1,\dots,k-1$，得到 $k$ 个线性方程组。由于系数矩阵是范德蒙矩阵，其行列式非零（因 $\lambda_i$ 互异），故可解出每个 $v_i$ 是 $\mathscr{A}^m w$ 的线性组合，从而 $v_i \in W$。因此 $W = \bigoplus_{i=1}^k (W \cap V_{\lambda_i})$。
公式：$\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_1 & \cdots & \lambda_k \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1^{k-1} & \cdots & \lambda_k^{k-1} \end{pmatrix}$
提示：范德蒙矩阵可逆是关键，需确保 $\lambda_i$ 互异。
步骤 5/7
目标：限制变换在子空间上的作用
由于 $\mathscr{A}$ 在 $V_{\lambda_i}$ 上是数乘变换，即 $\mathscr{A}v = \lambda_i v$ 对任意 $v \in V_{\lambda_i}$，因此限制在 $W \cap V_{\lambda_i}$ 上也是数乘变换，即 $\mathscr{A}|_W$ 在 $W \cap V_{\lambda_i}$ 上的作用为乘以 $\lambda_i$。
公式：$\mathscr{A}|_W (v) = \lambda_i v$ 对 $v \in W \cap V_{\lambda_i}$
提示：注意 $W \cap V_{\lambda_i}$ 是 $\mathscr{A}|_W$ 的特征子空间。
步骤 6/7
目标：构造 $\mathscr{A}|_W$ 的特征向量基
由 $W = \bigoplus_{i=1}^k (W \cap V_{\lambda_i})$，每个 $W \cap V_{\lambda_i}$ 中的非零向量都是 $\mathscr{A}|_W$ 的特征向量，属于特征值 $\lambda_i$。取每个 $W \cap V_{\lambda_i}$ 的一组基，合并即得 $W$ 的一组基，由 $\mathscr{A}|_W$ 的特征向量组成。
提示：需确认 $W \cap V_{\lambda_i}$ 的维数可能为零，但直和分解仍成立。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $\mathscr{A}|_W$ 在 $W$ 的这组基下的矩阵是对角矩阵，即 $\mathscr{A}|_W$ 可对角化。
提示：对角化是指存在一组基使矩阵为对角形，这里已构造出这样的基。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。