首都师范大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块
$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$
（1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由．
（2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出矩阵A并计算特征多项式
矩阵$A$是$n$阶若尔当块，形式为：
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
特征多项式为$f(\lambda) = \det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^n$，因为$A$是上三角矩阵，对角元全为1。
公式：$f(\lambda) = (\lambda-1)^n$
提示：注意若尔当块是上三角矩阵，特征多项式直接由对角元得到。
步骤 2/7
目标：确定特征值和代数重数
由特征多项式$f(\lambda) = (\lambda-1)^n$可知，特征值只有$\lambda=1$，代数重数为$n$。
提示：代数重数即特征多项式中因式$(\lambda-1)$的指数。
步骤 3/7
目标：计算特征子空间的维数（几何重数）
几何重数等于$\dim \ker(A - I)$。计算$A-I$：
$$A-I = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
这是一个幂零矩阵，秩为$n-1$（因为前$n-1$行线性无关，最后一行全零），所以$\dim \ker(A-I) = n - \operatorname{rank}(A-I) = n - (n-1) = 1$。因此特征子空间维数为1。
公式：$\dim \ker(A-I) = n - \operatorname{rank}(A-I)$
提示：注意$A-I$的秩是$n-1$，不是$n$。
步骤 4/7
目标：判断A是否可对角化
由于几何重数1小于代数重数$n$，所以$A$不可对角化。
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数。
步骤 5/7
目标：证明A与A^2相似：分析若尔当标准形
要证明$A$与$A^2$相似，只需证明它们有相同的若尔当标准形。由于$A$的特征值全为1，其若尔当标准形是唯一的若尔当块$J_n(1)$（大小为$n$）。因此只需证明$A^2$的若尔当标准形也是$J_n(1)$。
提示：相似于同一若尔当标准形的矩阵彼此相似。
步骤 6/7
目标：计算A^2-I的秩
注意到$A^2 - I = (A-I)(A+I)$。由于$A-I$是幂零矩阵，且$A+I$可逆（因为特征值1+1=2非零），所以$\operatorname{rank}(A^2-I) = \operatorname{rank}(A-I)$。因为$A-I$的秩为$n-1$，所以$\operatorname{rank}(A^2-I)=n-1$。
公式：$\operatorname{rank}(A^2-I) = \operatorname{rank}(A-I)$
提示：可逆矩阵乘矩阵不改变秩。
步骤 7/7
目标：确定A^2的若尔当块大小
对于特征值为1的矩阵$B$，其若尔当块的大小由$(B-I)^k$的秩决定。具体地，若$B$的若尔当标准形中最大若尔当块大小为$m$，则$\operatorname{rank}(B-I)^{m-1} > \operatorname{rank}(B-I)^m$。这里$A^2$满足$\operatorname{rank}(A^2-I)=n-1$，且$(A^2-I)^n=0$（因为$A^2-I$是幂零矩阵，指数不超过$n$）。实际上，可以验证$(A^2-I)^{n-1} \neq 0$，而$(A^2-I)^n=0$，所以$A^2$的若尔当标准形只有一个$n$阶若尔当块$J_n(1)$。因此$A$与$A^2$相似。
提示：需要验证$(A^2-I)^{n-1} \neq 0$，但由秩条件可推断。
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