首都师范大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle V, W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的两个线性空间，其维数分别为 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n, \operatorname{dim} W=m, \sigma$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个满射，且满足线性性，即
$$
\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha), \forall \alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{P} .
$$
记 $\displaystyle U=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ ，证明：$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=n-m$ ．
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