上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．求数列极限：（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}$ ，（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(2 n!)^{\frac{1}{n^{2}}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求极限 (1) 取对数转化
令 $a_n = n^{1/n}$，则 $\ln a_n = \frac{\ln n}{n}$。
公式：$\ln a_n = \frac{\ln n}{n}$
提示：注意对数运算规则，$\ln(n^{1/n}) = \frac{1}{n}\ln n$。
步骤 2/7
目标：求对数极限
计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$。由于 $\ln n$ 增长慢于 $n$，极限为 $0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0$
提示：可用洛必达法则或已知结论：$\ln n = o(n)$。
步骤 3/7
目标：还原极限值
由 $\ln a_n \to 0$ 得 $a_n = e^{\ln a_n} \to e^0 = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$
提示：指数函数的连续性：若 $\lim x_n = x$，则 $\lim e^{x_n} = e^x$。
步骤 4/7
目标：求极限 (2) 取对数转化
令 $L = \lim_{n \to \infty} (2n!)^{1/n^2}$，则 $\ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(2n!)}{n^2}$。
公式：$\ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(2n!)}{n^2}$
提示：注意 $2n!$ 表示 $(2n)!$，不是 $2 \cdot n!$。
步骤 5/7
目标：应用Stirling公式
Stirling公式：$\ln(m!) \sim m\ln m - m$。令 $m=2n$，得 $\ln(2n!) \sim 2n\ln(2n) - 2n = 2n\ln n + 2n\ln 2 - 2n$。
公式：$\ln(m!) \sim m\ln m - m$
提示：Stirling公式在 $m \to \infty$ 时成立，注意近似是渐近的。
步骤 6/7
目标：计算对数极限
代入得 $\frac{\ln(2n!)}{n^2} \sim \frac{2n\ln n}{n^2} = \frac{2\ln n}{n} \to 0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{2\ln n}{n} = 0$
提示：忽略低阶项 $2n\ln 2 - 2n$，因为它们除以 $n^2$ 后趋于0。
步骤 7/7
目标：还原极限值
由 $\ln L = 0$ 得 $L = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} (2n!)^{1/n^2} = 1$
提示：也可用夹逼准则验证：$1 \leq (2n!)^{1/n^2} \leq (2n)^{2/n} \to 1$。
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