📝 上海大学 2025年数学分析真题

1．求数列极限：（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}$ ，（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(2 n!)^{\frac{1}{n^{2}}}$ ．

2．设函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \arctan x)}{2^{x}-1}$ ．

3．求曲线积分

$$
\oint_{L} \frac{x^{2} y}{(x-a)^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y
$$

其中 $L$ 是由圆 $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ 与 $x$ 轴围成的第四象限区域的边界，方向为逆时针．

4．计算曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $0 \leq z \leq 1$ 的部分，方向取下侧．

1．若函数 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．

2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可微，$f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1} f(x)=-1$ ．证明：

$$
\min _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \leq 8, \max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geq 8
$$

3．对于级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+2^{n}}{(n+1)!}$ ．
（1）证明：在任意有限区间 $I$ 上一致收敛．
（2）判断级数在任何一点的玫散性，若收敛，说明是条件收玫还是绝对收敛，并给出理由．

4．解答如下问题：
（1）叙述 $\mathbb{R}^{2}$ 的聚点定理．
（2）利用聚点定理证明二元函数 $f$ 在有界闭域 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 连续则一致连续．

5．设函数 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界可积，证明： $\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} \varphi(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ ．

6．设函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$
（1）计算 $f(x, y)$ 的偏导数．
（2）讨论 $f(x, y)$ 在原点的连续性．
（3）讨论 $f(x, y)$ 在原点的可微性．

7．解答如下问题：
（1）若函数 $f(x)$ 满足以下条件：（i）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的邻域 $U\left(x_{0}\right)$ 连续；（ii）在 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 可导；（iii）极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ 存在．证明：$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ ．
（2）若函数 $f(x)$ 只满足本题（1）中条件（i）和（ii），但不满足（iii），则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 不可导，是否正确？请给出理由。

二．证明题．前 6 道题每题 15 分，最后 1 道 20 分，共 110 分．