上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \arctan x)}{2^{x}-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限形式与已知条件
已知 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，故 $f(0)$ 存在。极限为 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+f(x)\arctan x)}{2^x-1}$，当 $x\to 0$ 时，分子分母均趋于0，为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
提示：注意 $f(x)$ 连续但未必可导，因此不能直接使用洛必达法则，需用等价无穷小替换。
步骤 2/6
目标：对分子进行等价无穷小替换
当 $x\to 0$ 时，$\arctan x \sim x$，且 $f(x)\arctan x \to 0$（因为 $f(x)$ 连续，$f(x)\arctan x \to f(0)\cdot 0 = 0$），故 $\ln(1+f(x)\arctan x) \sim f(x)\arctan x$。因此分子等价于 $f(x)\arctan x$。
公式：$\ln(1+u) \sim u$ 当 $u\to 0$；$\arctan x \sim x$ 当 $x\to 0$
提示：注意 $f(x)\arctan x$ 趋于0，才能使用 $\ln(1+u)\sim u$。
步骤 3/6
目标：进一步简化分子
由于 $\arctan x \sim x$，所以 $f(x)\arctan x \sim f(x)x$。因此分子等价于 $f(x)x$。
公式：$\arctan x \sim x$
提示：等价无穷小替换时，注意乘积形式可以分别替换。
步骤 4/6
目标：对分母进行等价无穷小替换
当 $x\to 0$ 时，$2^x-1 \sim x\ln 2$。因为 $2^x = e^{x\ln 2}$，$e^u-1 \sim u$。
公式：$a^x-1 \sim x\ln a$ 当 $x\to 0$
提示：注意底数 $a>0$，$a\neq 1$。
步骤 5/6
目标：代入等价无穷小并求极限
原极限化为 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)x}{x\ln 2} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{\ln 2}$。
提示：约去 $x$ 时注意 $x\neq 0$，但极限过程 $x\to 0$ 可以约去。
步骤 6/6
目标：利用连续性得到最终结果
由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，$\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$。因此极限值为 $\frac{f(0)}{\ln 2}$。
公式：$\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$
提示：连续性保证了极限值等于函数值。
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