上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5．设函数 $\varphi(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界可积，证明： $\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} \varphi(x) \sin p x \mathrm{~d} x=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用有界性给出上界
由于 $\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界可积，则存在 $M>0$ 使得 $|\varphi(x)|\leq M$ 对一切 $x\in[a,b]$ 成立。
提示：注意有界性只保证存在一个上界，但后续需要用到振幅，因此需要进一步分割。
步骤 2/6
目标：利用可积性进行分割
对任意 $\varepsilon>0$，由可积性，存在 $[a,b]$ 的一个分割 $a=x_0
公式：可积的充要条件：$\lim_{\|\Delta\|\to 0}\sum \omega_i\Delta x_i = 0$
提示：振幅 $\omega_i$ 是上确界减下确界，注意不要与函数值混淆。
步骤 3/6
目标：分解积分
令 $m_i = \inf_{[x_{i-1},x_i]}\varphi(x)$，则 $\varphi(x) = m_i + (\varphi(x)-m_i)$，且 $0\leq \varphi(x)-m_i \leq \omega_i$。于是
\[
\int_a^b \varphi(x)\sin px\,dx = \sum_{i=1}^n m_i \int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin px\,dx + \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} (\varphi(x)-m_i)\sin px\,dx.
\]
提示：分解时注意 $m_i$ 是常数，可以提到积分号外。
步骤 4/6
目标：估计第一项
对于第一项，
\[
\left|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin px\,dx\right| = \left|\frac{\cos p x_{i-1} - \cos p x_i}{p}\right| \leq \frac{2}{p},
\]
所以
\[
\left|\sum_{i=1}^n m_i \int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin px\,dx\right| \leq \sum_{i=1}^n |m_i| \cdot \frac{2}{p} \leq \frac{2nM}{p}.
\]
取 $p$ 充分大，使得 $\frac{2nM}{p} < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\left|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin px\,dx\right| \leq \frac{2}{p}$
提示：注意 $|m_i|\leq M$，且 $n$ 是固定的分割数，所以当 $p$ 足够大时该项可以任意小。
步骤 5/6
目标：估计第二项
对于第二项，由于 $0\leq \varphi(x)-m_i \leq \omega_i$，且 $|\sin px|\leq 1$，有
\[
\left|\int_{x_{i-1}}^{x_i} (\varphi(x)-m_i)\sin px\,dx\right| \leq \int_{x_{i-1}}^{x_i} \omega_i\,dx = \omega_i \Delta x_i,
\]
所以
\[
\left|\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} (\varphi(x)-m_i)\sin px\,dx\right| \leq \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2}.
\]
提示：这里用到了 $|\sin px|\leq 1$ 和振幅的积分估计，注意 $\omega_i\Delta x_i$ 的和已经由分割控制。
步骤 6/6
目标：合并估计并得出结论
综上，当 $p$ 充分大时，
\[
\left|\int_a^b \varphi(x)\sin px\,dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
\]
因此 $\lim_{p\to+\infty} \int_a^b \varphi(x)\sin px\,dx = 0$。
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，极限为0。
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