上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可微，$f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1} f(x)=-1$ ．证明：
$$
\min _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \leq 8, \max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geq 8
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定最小值点
设 $c \in [0,1]$ 使得 $f(c) = -1$。由 $f(0)=f(1)=0$，根据罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (0,c)$ 和 $\xi_2 \in (c,1)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$，$f'(\xi_2)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$
提示：注意 $c$ 可能为端点，但由 $f(0)=f(1)=0$ 且最小值为-1，$c$ 必在开区间内。
步骤 2/8
目标：构造辅助函数 $g(x)$
考虑函数 $g(x) = f(x) + 4x(1-x)$。则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，且 $g(c) = -1 + 4c(1-c)$。由于 $c(1-c) \leq \frac{1}{4}$，所以 $g(c) \leq -1 + 1 = 0$。因此 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最小值不大于0。
公式：$c(1-c) \leq \frac{1}{4}$，等号当 $c=\frac{1}{2}$ 时成立
提示：注意 $g(c)$ 可能等于0，此时 $c=1/2$ 且 $f(c)=-1$，结论直接成立。
步骤 3/8
目标：分析 $g$ 的二阶导数
计算 $g''(x) = f''(x) - 8$。假设 $\min_{0\leq x\leq 1} f''(x) > 8$，则 $g''(x) > 0$，$g$ 为凸函数。凸函数在闭区间上的最大值在端点达到，而 $g(0)=g(1)=0$，故 $g(x) \leq 0$ 对所有 $x$ 成立。
公式：凸函数性质：若 $g''(x)>0$，则 $g$ 为凸函数，最大值在端点
提示：注意凸函数的最大值在端点，但这里 $g(0)=g(1)=0$，所以 $g(x)\leq 0$。
步骤 4/8
目标：导出矛盾
若 $g$ 为凸函数且 $g(x)\leq 0$，则 $g$ 的最小值在内部某点达到，但 $g(0)=g(1)=0$，故 $g$ 必须恒为0，否则凸函数不可能在端点取最大值且内部有更小值。但 $g(c) = -1 + 4c(1-c) < 0$ 除非 $c=1/2$ 时 $g(c)=0$。若 $c=1/2$，则 $f(c)=-1$ 且 $g(c)=0$，此时 $g$ 在 $c$ 处取最小值0，但 $g''(c)=f''(c)-8$，由凸性 $g''(c)\geq 0$，但若 $\min f''(x)>8$，则 $g''(c)>0$，矛盾。因此假设不成立，故 $\min f''(x) \leq 8$。
提示：注意 $c=1/2$ 时 $g(c)=0$，但此时 $f''(c)=8$，结论已成立。
步骤 5/8
目标：构造辅助函数 $h(x)$
考虑 $h(x) = f(x) - 4x(1-x)$，则 $h(0)=0$，$h(1)=0$，$h(c) = -1 - 4c(1-c) \leq -1 < 0$，所以 $h$ 的最小值小于0。
提示：注意 $h(c)$ 严格小于0，因为 $4c(1-c)\geq 0$。
步骤 6/8
目标：分析 $h$ 的二阶导数
计算 $h''(x) = f''(x) + 8$。假设 $\max_{0\leq x\leq 1} f''(x) < 8$，则 $h''(x) < 0$，$h$ 为凹函数。凹函数在闭区间上的最小值在端点达到，而 $h(0)=h(1)=0$，故 $h(x) \geq 0$ 对所有 $x$ 成立。
公式：凹函数性质：若 $h''(x)<0$，则 $h$ 为凹函数，最小值在端点
提示：注意凹函数的最小值在端点，这里 $h(0)=h(1)=0$，所以 $h(x)\geq 0$。
步骤 7/8
目标：导出矛盾
但 $h(c) < 0$，与 $h(x) \geq 0$ 矛盾。因此假设不成立，故 $\max f''(x) \geq 8$。
提示：注意 $h(c)<0$ 是严格不等式，与 $h(x)\geq 0$ 矛盾。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上，$\min_{0\leq x\leq 1} f''(x) \leq 8 \leq \max_{0\leq x\leq 1} f''(x)$。
提示：结论是双向不等式，注意等号可能成立。
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