上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．求曲线积分
$$
\oint_{L} \frac{x^{2} y}{(x-a)^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y
$$
其中 $L$ 是由圆 $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ 与 $x$ 轴围成的第四象限区域的边界，方向为逆时针．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确曲线形状与方向
圆方程 $(x-a)^2+y^2=a^2$ 表示圆心在 $(a,0)$，半径 $a$。与 $x$ 轴交点为 $(0,0)$ 和 $(2a,0)$。第四象限区域边界由两部分组成：下半圆弧（从 $(2a,0)$ 逆时针到 $(0,0)$）和 $x$ 轴上的线段（从 $(0,0)$ 回到 $(2a,0)$）。
提示：注意逆时针方向：在第四象限，圆弧是从右向左走，而 $x$ 轴线段是从左向右。
步骤 2/7
目标：分析直线段积分
在 $x$ 轴上的线段上，$y=0$，因此 $dy=0$，被积函数为 $0$，积分贡献为 $0$。
提示：当 $y=0$ 时，分子 $x^2 y = 0$，所以整个被积表达式为 $0$。
步骤 3/7
目标：参数化圆弧段
将下半圆弧参数化：令 $x = a + a\cos\theta$，$y = a\sin\theta$。当 $\theta=0$ 时对应点 $(2a,0)$，当 $\theta=-\pi$ 时对应点 $(0,0)$。此时 $dy = a\cos\theta\, d\theta$。
公式：$x = a + a\cos\theta,\quad y = a\sin\theta,\quad \theta: 0 \to -\pi$
提示：注意 $\theta$ 取负值才能得到下半圆（$y$ 为负）。
步骤 4/7
目标：化简被积函数
代入参数：$(x-a)^2+y^2 = a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta = a^2$，分子 $x^2 y = (a+a\cos\theta)^2 \cdot (a\sin\theta) = a^3(1+\cos\theta)^2\sin\theta$。因此被积函数化为 $a(1+\cos\theta)^2\sin\theta$。
公式：$\frac{x^2 y}{(x-a)^2+y^2} = a(1+\cos\theta)^2\sin\theta$
提示：分母化简为 $a^2$ 是关键简化步骤。
步骤 5/7
目标：计算圆弧积分
圆弧积分为 $\int_{\theta=0}^{-\pi} a(1+\cos\theta)^2\sin\theta \cdot (a\cos\theta\, d\theta) = a^2 \int_{0}^{-\pi} (1+\cos\theta)^2\sin\theta\cos\theta\, d\theta$。令 $u=\cos\theta$，则 $du=-\sin\theta\, d\theta$，积分限变为 $u=1$ 到 $u=-1$，整理得 $a^2 \int_{-1}^{1} (1+u)^2 u\, du$。
公式：$a^2 \int_{-1}^{1} (1+u)^2 u\, du$
提示：换元时注意积分限的变化和符号处理。
步骤 6/7
目标：计算定积分
展开被积函数：$(1+u)^2 u = u^3+2u^2+u$。在对称区间 $[-1,1]$ 上，奇函数 $u^3$ 和 $u$ 的积分为 $0$，偶函数 $2u^2$ 的积分为 $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。因此圆弧积分结果为 $a^2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4a^2}{3}$。
公式：$\int_{-1}^{1} (u^3+2u^2+u)\, du = \frac{4}{3}$
提示：利用奇偶性简化积分计算。
步骤 7/7
目标：得出总结果
直线段积分为 $0$，圆弧段积分为 $\frac{4a^2}{3}$，因此整个曲线积分为 $\frac{4a^2}{3}$。
公式：$\oint_L \frac{x^2 y}{(x-a)^2+y^2}\, dy = \frac{4a^2}{3}$
提示：最终答案不含 $\pi$，注意验证计算。
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