上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4．解答如下问题：
（1）叙述 $\mathbb{R}^{2}$ 的聚点定理．
（2）利用聚点定理证明二元函数 $f$ 在有界闭域 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 连续则一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：叙述聚点定理
聚点定理：设 $E \subset \mathbb{R}^2$ 为无限点集，则 $E$ 至少有一个聚点。即，若 $E$ 是无限集，则存在点 $P_0 \in \mathbb{R}^2$，使得 $P_0$ 的任意邻域内都含有 $E$ 中无穷多个点。
提示：注意聚点不一定属于集合本身，但闭集的聚点一定属于该集合。
步骤 2/5
目标：假设不一致连续，构造点列
设 $f$ 在有界闭域 $D \subset \mathbb{R}^2$ 上连续。假设 $f$ 在 $D$ 上不一致连续，则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，存在 $P, Q \in D$ 满足 $\|P - Q\| < \delta$ 但 $|f(P) - f(Q)| \geq \varepsilon_0$。特别地，取 $\delta = 1/n$，得到点列 $\{P_n\}, \{Q_n\} \subset D$，满足 $\|P_n - Q_n\| < 1/n$ 且 $|f(P_n) - f(Q_n)| \geq \varepsilon_0$。
公式：|f(P_n) - f(Q_n)| \geq \varepsilon_0
提示：不一致连续的定义要准确：存在某个正数ε0，无论δ多小，都能找到两点距离小于δ但函数值差≥ε0。
步骤 3/5
目标：应用聚点定理得到聚点
由于 $D$ 有界，$\{P_n\}$ 为有界点列，由聚点定理，$\{P_n\}$ 有聚点 $P_0 \in \mathbb{R}^2$。又 $D$ 为闭集，故 $P_0 \in D$。存在子列 $\{P_{n_k}\}$ 收敛于 $P_0$。
公式：P_{n_k} \to P_0
提示：聚点定理保证存在聚点，但需要利用闭集性质确保聚点在D内。
步骤 4/5
目标：推导子列对应的Q点列也收敛于同一聚点
由 $\|P_{n_k} - Q_{n_k}\| < 1/n_k \to 0$，得 $Q_{n_k} \to P_0$。
公式：\|P_{n_k} - Q_{n_k}\| < 1/n_k \to 0
提示：利用三角不等式：$\|Q_{n_k} - P_0\| \leq \|Q_{n_k} - P_{n_k}\| + \|P_{n_k} - P_0\| \to 0$。
步骤 5/5
目标：利用连续性导出矛盾
由 $f$ 在 $P_0$ 连续，有 $f(P_{n_k}) \to f(P_0)$，$f(Q_{n_k}) \to f(P_0)$，从而 $|f(P_{n_k}) - f(Q_{n_k})| \to 0$，与 $|f(P_{n_k}) - f(Q_{n_k})| \geq \varepsilon_0 > 0$ 矛盾。故假设不成立，$f$ 在 $D$ 上一致连续。
公式：|f(P_{n_k}) - f(Q_{n_k})| \to 0
提示：连续性的应用：当自变量趋于某点时，函数值趋于该点函数值。
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